Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số ${f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ:
Tìm các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $f\left( 2\cos x \right)-4{{\cos }^{2}}x>m+1$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
A. $m<f\left( 0 \right)-2$.
B. $m\le f\left( 0 \right)-2$.
C. $m\le f\left( 1 \right)-2$.
D. $m<f\left( 1 \right)-2$.
A. $m<f\left( 0 \right)-2$.
B. $m\le f\left( 0 \right)-2$.
C. $m\le f\left( 1 \right)-2$.
D. $m<f\left( 1 \right)-2$.
Đặt $t=2\cos x$. Vì $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ nên $t\in \left( 0;2 \right)$.
Bất phương trình trở thành $f\left( t \right)-{{t}^{2}}>m+1 \left( 1 \right)$. Đặt $g\left( t \right)=f\left( t \right)-{{t}^{2}}$ với $t\in \left( 0;2 \right)$.
Bất phương trình $f\left( 2\cos x \right)-4{{\cos }^{2}}x>m+1$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
$\Leftrightarrow $ Bất phương trình $\left( 1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t\in \left( 0;2 \right)$ khi và chỉ khi $\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\min }} g\left( t \right)>m+1$
Ta có ${g}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)-2t$.
${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=2t$. Nghiệm phương trình này trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ là hoành độ giao điểm của đồ thị $y={f}'\left( t \right)$ và đường thẳng $y=2t$ với $t\in \left( 0;2 \right)$.
Dựa vào đồ thị ta được nghiệm $t=1\in \left( 0;2 \right)$.
Cũng dựa vào đồ thị ta thấy khi $t\in \left( 0;1 \right)$ thì ${f}'\left( t \right)<2t$ $\Rightarrow {g}'\left( t \right)<0$, khi $t\in \left( 1;2 \right)$ thì ${f}'\left( t \right)>2t$ $\Rightarrow {g}'\left( t \right)>0$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 1 \right)$ $=f\left( 1 \right)-1$.
Vậy bất phương trình đã cho đúng với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi $\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\min }} g\left( t \right)>m+1$ $\Leftrightarrow f\left( 1 \right)-1>m+1\Leftrightarrow m<f\left( 1 \right)-2$.
Bất phương trình trở thành $f\left( t \right)-{{t}^{2}}>m+1 \left( 1 \right)$. Đặt $g\left( t \right)=f\left( t \right)-{{t}^{2}}$ với $t\in \left( 0;2 \right)$.
Bất phương trình $f\left( 2\cos x \right)-4{{\cos }^{2}}x>m+1$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
$\Leftrightarrow $ Bất phương trình $\left( 1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t\in \left( 0;2 \right)$ khi và chỉ khi $\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\min }} g\left( t \right)>m+1$
Ta có ${g}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)-2t$.
${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=2t$. Nghiệm phương trình này trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ là hoành độ giao điểm của đồ thị $y={f}'\left( t \right)$ và đường thẳng $y=2t$ với $t\in \left( 0;2 \right)$.
Cũng dựa vào đồ thị ta thấy khi $t\in \left( 0;1 \right)$ thì ${f}'\left( t \right)<2t$ $\Rightarrow {g}'\left( t \right)<0$, khi $t\in \left( 1;2 \right)$ thì ${f}'\left( t \right)>2t$ $\Rightarrow {g}'\left( t \right)>0$.
Bảng biến thiên:
Vậy bất phương trình đã cho đúng với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi $\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\min }} g\left( t \right)>m+1$ $\Leftrightarrow f\left( 1 \right)-1>m+1\Leftrightarrow m<f\left( 1 \right)-2$.
Đáp án D.