Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F\left( x \right)$, $G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left( 2 \right)+G\left( 2 \right)=5$ và $F\left( 0 \right)+G\left( 0 \right)=1$. Khi đó $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}{xf\left( {{x}^{2}} \right)\text{d}x}$ bằng
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $4$.
Đặt $t={{x}^{2}}\Rightarrow \text{d}t=2x\text{d}x$. Khi đó $I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)\text{dt}}$.
Ta có: $F\left( x \right)=G\left( x \right)+C$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( 2 \right)=G\left( 2 \right)+C \\
& F\left( 0 \right)=G\left( 0 \right)+C \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow F\left( 2 \right)-F\left( 0 \right)=G\left( 2 \right)-G\left( 0 \right)$.
Từ giả thiết: $F\left( 2 \right)+G\left( 2 \right)=5$ và $F\left( 0 \right)+G\left( 0 \right)=1$ ta suy ra: $F\left( 2 \right)-F\left( 0 \right)=G\left( 2 \right)-G\left( 0 \right)=2$.
Tính $I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)\text{dt}}=\dfrac{1}{2}\left( F\left( 2 \right)-F\left( 0 \right) \right)=1$.
Ta có: $F\left( x \right)=G\left( x \right)+C$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( 2 \right)=G\left( 2 \right)+C \\
& F\left( 0 \right)=G\left( 0 \right)+C \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow F\left( 2 \right)-F\left( 0 \right)=G\left( 2 \right)-G\left( 0 \right)$.
Từ giả thiết: $F\left( 2 \right)+G\left( 2 \right)=5$ và $F\left( 0 \right)+G\left( 0 \right)=1$ ta suy ra: $F\left( 2 \right)-F\left( 0 \right)=G\left( 2 \right)-G\left( 0 \right)=2$.
Tính $I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)\text{dt}}=\dfrac{1}{2}\left( F\left( 2 \right)-F\left( 0 \right) \right)=1$.
Đáp án B.