Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(1)=1$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime}(x)$ như hình bên.
Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ để hàm số $y=|4 f(\sin x)+\cos 2 x-a|$ nghịch biến trên khoảng $\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right) ?$
A. 2 .
B. 3 .
C. Vô số.
D. 5 .
A. 2 .
B. 3 .
C. Vô số.
D. 5 .
$y=|4 f(\sin x)+\cos 2 x-a|=\left|4 f(\sin x)-2 \sin ^2 x+1-a\right|$.
Đặt $t=\sin x \Rightarrow t^{\prime}=\cos x>0, x \in\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ nên khi $x$ tăng trên $\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ thì $t$ tăng trên $(0 ; 1)$.
Do đó hàm số $y=\left|4 f(\sin x)-2 \sin ^2 x+1-a\right|$ nghịch biến trên $\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ khi và chỉ khi hàm số $y=\left|4 f(t)-2 t^2+1-a\right|$ nghịch biến trên $(0 ; 1)$.
Dễ thấy, điều kiện cần để hàm số $y=\left|4 f(t)-2 t^2+1-a\right|$ nghịch biến trên $(0 ; 1)$ là phương trình $4 f(t)-2 t^2+1-a=0$ vô nghiệm trên $(0 ; 1)$. $(*)$
Với điều kiện $(*), y=\left|4 f(t)-2 t^2+1-a\right|$ nghịch biến trên $(0 ; 1)$ khi và chỉ khi $y^{\prime} \leq 0, \forall t \in(0 ; 1) \Leftrightarrow \dfrac{\left(4 f^{\prime}(t)-4 t\right)\left(4 f(t)-2 t^2+1-a\right)}{\left|4 f(t)-2 t^2+1-a\right|} \leq 0, \forall t \in(0 ; 1) .(* *)$
Dựa vào đồ thị trên ta có $f^{\prime}(t)<0, \forall t \in(0 ; 1)$, do đó $4 f^{\prime}(t)-4 t<0, \forall t \in(0 ; 1)$.
Khi đó: $(* *) \Leftrightarrow 4 f(t)-2 t^2+1-a>0, \forall t \in(0 ; 1) \Leftrightarrow a<4 f(t)-2 t^2+1, \forall t \in(0 ; 1)$.
(điều kiện này luôn đảm bảo thỏa mãn (*))
Hay $a \leq 4 f(t)-2 t^2+1, \forall t \in[0 ; 1] \Leftrightarrow a \leq \min _{[0 ; 1]}\left\{4 f(t)-2 t^2+1\right\}$
Xét hàm số $g(t)=4 f(t)-2 t^2+1$ trên $[0 ; 1]$ có $g^{\prime}(t)=4 f^{\prime}(t)-4 t<0, \forall t \in[0 ; 1]$, nên $g(t)$ nghịch biến trên $[0 ; 1]$.
$
\Rightarrow \min _{[0 ; 1]} g(t)=g(1)=3
$
Vậy $a \leq \min _{[0 ; 1]} g(t)=3$.
Vì $a$ nguyên dương nên $0<a \leq 3 \Rightarrow a \in\{1 ; 2 ; 3\}$.
Cách 2.
$
y=|4 f(\sin x)+\cos 2 x-a|=\left|4 f(\sin x)-2 \sin ^2 x+1-a\right|
$
Đặt $t=\sin x \Rightarrow t^{\prime}=\cos x>0, x \in\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ nên khi $x$ tăng trên $\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ thì $t$ tăng trên $(0 ; 1)$.
Do đó hàm số $y=\left|4 f(\sin x)-2 \sin ^2 x+1-a\right|$ nghịch biến trên $\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ khi và chỉ khi hàm số $y=\left|4 f(t)-2 t^2+1-a\right|$ nghịch biến trên $(0 ; 1)$.
Xét $g(t)=4 f(t)-2 t^2+1-a$ có $g(1)=4 f(1)-2+1-a=3-a$. $g^{\prime}(t)=4 f^{\prime}(t)-4 t<0, \forall t \in(0 ; 1)$
Do đó $g(t)$ nghịch biến trên $(0 ; 1)$.
Từ đây suy ra: $y=\left|4 f(t)-2 t^2+1-a\right|$ nghịch biến trên khoảng $(0 ; 1)$ khi và chỉ khi $g(t) \geq 0$, $\forall t \in[0 ; 1]$ hay $g(1) \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 3$.
Vì $a$ nguyên dương nên $a \in\{1 ; 2 ; 3\}$.
Đặt $t=\sin x \Rightarrow t^{\prime}=\cos x>0, x \in\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ nên khi $x$ tăng trên $\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ thì $t$ tăng trên $(0 ; 1)$.
Do đó hàm số $y=\left|4 f(\sin x)-2 \sin ^2 x+1-a\right|$ nghịch biến trên $\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ khi và chỉ khi hàm số $y=\left|4 f(t)-2 t^2+1-a\right|$ nghịch biến trên $(0 ; 1)$.
Dễ thấy, điều kiện cần để hàm số $y=\left|4 f(t)-2 t^2+1-a\right|$ nghịch biến trên $(0 ; 1)$ là phương trình $4 f(t)-2 t^2+1-a=0$ vô nghiệm trên $(0 ; 1)$. $(*)$
Với điều kiện $(*), y=\left|4 f(t)-2 t^2+1-a\right|$ nghịch biến trên $(0 ; 1)$ khi và chỉ khi $y^{\prime} \leq 0, \forall t \in(0 ; 1) \Leftrightarrow \dfrac{\left(4 f^{\prime}(t)-4 t\right)\left(4 f(t)-2 t^2+1-a\right)}{\left|4 f(t)-2 t^2+1-a\right|} \leq 0, \forall t \in(0 ; 1) .(* *)$
Dựa vào đồ thị trên ta có $f^{\prime}(t)<0, \forall t \in(0 ; 1)$, do đó $4 f^{\prime}(t)-4 t<0, \forall t \in(0 ; 1)$.
Khi đó: $(* *) \Leftrightarrow 4 f(t)-2 t^2+1-a>0, \forall t \in(0 ; 1) \Leftrightarrow a<4 f(t)-2 t^2+1, \forall t \in(0 ; 1)$.
(điều kiện này luôn đảm bảo thỏa mãn (*))
Hay $a \leq 4 f(t)-2 t^2+1, \forall t \in[0 ; 1] \Leftrightarrow a \leq \min _{[0 ; 1]}\left\{4 f(t)-2 t^2+1\right\}$
Xét hàm số $g(t)=4 f(t)-2 t^2+1$ trên $[0 ; 1]$ có $g^{\prime}(t)=4 f^{\prime}(t)-4 t<0, \forall t \in[0 ; 1]$, nên $g(t)$ nghịch biến trên $[0 ; 1]$.
$
\Rightarrow \min _{[0 ; 1]} g(t)=g(1)=3
$
Vậy $a \leq \min _{[0 ; 1]} g(t)=3$.
Vì $a$ nguyên dương nên $0<a \leq 3 \Rightarrow a \in\{1 ; 2 ; 3\}$.
Cách 2.
$
y=|4 f(\sin x)+\cos 2 x-a|=\left|4 f(\sin x)-2 \sin ^2 x+1-a\right|
$
Đặt $t=\sin x \Rightarrow t^{\prime}=\cos x>0, x \in\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ nên khi $x$ tăng trên $\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ thì $t$ tăng trên $(0 ; 1)$.
Do đó hàm số $y=\left|4 f(\sin x)-2 \sin ^2 x+1-a\right|$ nghịch biến trên $\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ khi và chỉ khi hàm số $y=\left|4 f(t)-2 t^2+1-a\right|$ nghịch biến trên $(0 ; 1)$.
Xét $g(t)=4 f(t)-2 t^2+1-a$ có $g(1)=4 f(1)-2+1-a=3-a$. $g^{\prime}(t)=4 f^{\prime}(t)-4 t<0, \forall t \in(0 ; 1)$
Do đó $g(t)$ nghịch biến trên $(0 ; 1)$.
Từ đây suy ra: $y=\left|4 f(t)-2 t^2+1-a\right|$ nghịch biến trên khoảng $(0 ; 1)$ khi và chỉ khi $g(t) \geq 0$, $\forall t \in[0 ; 1]$ hay $g(1) \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 3$.
Vì $a$ nguyên dương nên $a \in\{1 ; 2 ; 3\}$.
Đáp án B.