Google
Câu hỏi: Cho $f(x)$ là một hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số $f\left( {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right) \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $f(2x-1)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $\left( 1;\dfrac{3}{2} \right)$.
B. $\left( 2;3 \right)$.
C. $\left( \dfrac{1}{2};1 \right)$.
D. $(3;4)$.
B. $\left( 2;3 \right)$.
C. $\left( \dfrac{1}{2};1 \right)$.
D. $(3;4)$.
Cách 1. Đặt $2x-1={{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right)$, $g(t)=f\left( {{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right) \right)$.
Ta có $g\prime (t)=\dfrac{2(t+1)}{{{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right)\ln 2}\cdot f\prime \left( {{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right) \right).$
Do đó với $t>-1$ thì $g\prime (t)$ và $f\prime \left( {{\log }_{2}}({{t}^{2}}+2t+2) \right)$ cùng dấu, $t<-1$ thì $g\prime (t)$ và $f\prime \left( {{\log }_{2}}({{t}^{2}}+2t+2) \right)$ trái dấu.
Đặt $h(t)={{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right)$, ta có $h\prime (t)=\dfrac{2(t+1)}{\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right)\ln 2}$, từ đó, ta có bảng biến thiên của $h(t)$
Dựa vào đồ thị đã cho $g\prime (t)<0$ khi $-1<t<0$, do đó $f\prime \left( {{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right) \right)<0$ khi $-1<t<0$, khi đó $0<{{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right)<1$, suy ra $f\prime (2x-1)<0$ khi $0<2x-1<1$, hay $\dfrac{1}{2}<x<1$.
Cách 2. Đặt $u=u(x)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)$, ta có $u\prime (x)=\dfrac{2(x+1)}{\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)\ln 2}$.
Để ý rằng, với $u\prime (x)\ne 0$ thì $f\prime (u)=\dfrac{\left[ f(u(x)) \right]\prime }{u\prime (x)}$, do đó $f\prime (u)\ge 0$ nếu $f(u(x))$ và $u(x)$ đơn điệu cùng chiều, $f\prime (u)\le 0$ nếu $f(u(x))$ và $u(x)$ đơn điệu ngược chiều. Do đó, ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiến trên, ta có $f\prime (u)<0$ khi $0<u<1$. Suy ra $2f\prime (2x-1)=\left[ f(2x-1) \right]\prime <0$ khi $0<2x-1<1$ hay $\dfrac{1}{2}<x<1$.
Ta có $g\prime (t)=\dfrac{2(t+1)}{{{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right)\ln 2}\cdot f\prime \left( {{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right) \right).$
Do đó với $t>-1$ thì $g\prime (t)$ và $f\prime \left( {{\log }_{2}}({{t}^{2}}+2t+2) \right)$ cùng dấu, $t<-1$ thì $g\prime (t)$ và $f\prime \left( {{\log }_{2}}({{t}^{2}}+2t+2) \right)$ trái dấu.
Đặt $h(t)={{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right)$, ta có $h\prime (t)=\dfrac{2(t+1)}{\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right)\ln 2}$, từ đó, ta có bảng biến thiên của $h(t)$
Dựa vào đồ thị đã cho $g\prime (t)<0$ khi $-1<t<0$, do đó $f\prime \left( {{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right) \right)<0$ khi $-1<t<0$, khi đó $0<{{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+2 \right)<1$, suy ra $f\prime (2x-1)<0$ khi $0<2x-1<1$, hay $\dfrac{1}{2}<x<1$.
Cách 2. Đặt $u=u(x)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)$, ta có $u\prime (x)=\dfrac{2(x+1)}{\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)\ln 2}$.
Để ý rằng, với $u\prime (x)\ne 0$ thì $f\prime (u)=\dfrac{\left[ f(u(x)) \right]\prime }{u\prime (x)}$, do đó $f\prime (u)\ge 0$ nếu $f(u(x))$ và $u(x)$ đơn điệu cùng chiều, $f\prime (u)\le 0$ nếu $f(u(x))$ và $u(x)$ đơn điệu ngược chiều. Do đó, ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiến trên, ta có $f\prime (u)<0$ khi $0<u<1$. Suy ra $2f\prime (2x-1)=\left[ f(2x-1) \right]\prime <0$ khi $0<2x-1<1$ hay $\dfrac{1}{2}<x<1$.
Đáp án C.