Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x) $ có đồ thị ${f}'(x) $ như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m\in \left( -2022 ; 2022 \right)$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2x-3 \right) -\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)-2mx$ nghịch biến trên $\left( \dfrac{1}{2};2 \right)$ ?
A. $2020$.
B. $2021$.
C. $2018$.
D. $2019$.
B. $2021$.
C. $2018$.
D. $2019$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( 2x-3 \right) -\dfrac{2x}{1+{{x}^{2}}}-2m$
Để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2x-3 \right) -\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)-2mx$ nghịch biến trên $\left( \dfrac{1}{2};2 \right)$
$\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right)\Leftrightarrow m\ge {f}'\left( 2x-3 \right) -\dfrac{x}{1+{{x}^{2}}},\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)={f}'\left( 2x-3 \right) -\dfrac{x}{1+{{x}^{2}}},x\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right)$. Đặt $t=2x-3\Rightarrow t\in \left( -1;1 \right)$
Khi đó ta xét hàm số $g\left( t \right)={f}'\left( t \right)-\dfrac{\dfrac{t+3}{2}}{1+{{\left( \dfrac{t+3}{2} \right)}^{2}}}={f}'\left( t \right)-\dfrac{2t+6}{{{t}^{2}}+6t+13}$
Ta có ${g}'\left( t \right)={f}''\left( t \right)+\dfrac{2{{t}^{2}}+12t+14}{{{\left( {{t}^{2}}+6t+13 \right)}^{2}}}$.
Từ đồ thị ta thấy được ${f}'\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( -1;1 \right)$ nên ${f}''\left( t \right)>0,\forall t\in \left( -1;1 \right)$ nên ${g}'\left( t \right)={f}''\left( t \right)+\dfrac{2{{t}^{2}}+12t+14}{{{\left( {{t}^{2}}+6t+13 \right)}^{2}}}>0,\forall t\in \left( -1;1 \right)$. Nên $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( -1;1 \right)$.
Nên $m\ge {f}'\left( 2x-3 \right) -\dfrac{x}{1+{{x}^{2}}},\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right)\Leftrightarrow m\ge {f}'\left( t \right)-\dfrac{2t+6}{{{t}^{2}}+6t+13},\forall t\in \left( -1;1 \right)$
$\Leftrightarrow m\ge g\left( t \right),\forall t\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\ge g\left( 1 \right)=\dfrac{18}{5}$.
Để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2x-3 \right) -\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)-2mx$ nghịch biến trên $\left( \dfrac{1}{2};2 \right)$
$\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right)\Leftrightarrow m\ge {f}'\left( 2x-3 \right) -\dfrac{x}{1+{{x}^{2}}},\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)={f}'\left( 2x-3 \right) -\dfrac{x}{1+{{x}^{2}}},x\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right)$. Đặt $t=2x-3\Rightarrow t\in \left( -1;1 \right)$
Khi đó ta xét hàm số $g\left( t \right)={f}'\left( t \right)-\dfrac{\dfrac{t+3}{2}}{1+{{\left( \dfrac{t+3}{2} \right)}^{2}}}={f}'\left( t \right)-\dfrac{2t+6}{{{t}^{2}}+6t+13}$
Ta có ${g}'\left( t \right)={f}''\left( t \right)+\dfrac{2{{t}^{2}}+12t+14}{{{\left( {{t}^{2}}+6t+13 \right)}^{2}}}$.
Từ đồ thị ta thấy được ${f}'\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( -1;1 \right)$ nên ${f}''\left( t \right)>0,\forall t\in \left( -1;1 \right)$ nên ${g}'\left( t \right)={f}''\left( t \right)+\dfrac{2{{t}^{2}}+12t+14}{{{\left( {{t}^{2}}+6t+13 \right)}^{2}}}>0,\forall t\in \left( -1;1 \right)$. Nên $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( -1;1 \right)$.
Nên $m\ge {f}'\left( 2x-3 \right) -\dfrac{x}{1+{{x}^{2}}},\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right)\Leftrightarrow m\ge {f}'\left( t \right)-\dfrac{2t+6}{{{t}^{2}}+6t+13},\forall t\in \left( -1;1 \right)$
$\Leftrightarrow m\ge g\left( t \right),\forall t\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\ge g\left( 1 \right)=\dfrac{18}{5}$.
Đáp án D.