Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=3{{x}^{2}}-6, \forall x\in \mathbb{R}$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y={f}'\left( x \right)$ và $\dfrac{a}{b}.\sqrt{5}$ ( với $a ,b \in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó giá trị của hiệu $a-b$ bằng
A. $-20$.
B. $20$.
C. $23$.
D. $17$
A. $-20$.
B. $20$.
C. $23$.
D. $17$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& 2f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=3{{x}^{2}}-6 \\
& 2f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)=3{{\left( 1-x \right)}^{2}}-6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)=6{{x}^{2}}-12 \\
& 2f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-3 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow 3f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x-9\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-3\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2x+2$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{2}}+2x-3=2x+2$ $\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{5}$
$\Rightarrow S=\int\limits_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}{\left| {{x}^{2}}-5 \right|\text{d}x}=\dfrac{20\sqrt{5}}{3}\Rightarrow a-b=20-3=17$.
& 2f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=3{{x}^{2}}-6 \\
& 2f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)=3{{\left( 1-x \right)}^{2}}-6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)=6{{x}^{2}}-12 \\
& 2f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-3 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow 3f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x-9\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-3\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2x+2$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{2}}+2x-3=2x+2$ $\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{5}$
$\Rightarrow S=\int\limits_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}{\left| {{x}^{2}}-5 \right|\text{d}x}=\dfrac{20\sqrt{5}}{3}\Rightarrow a-b=20-3=17$.
Đáp án D.
