Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên...

Đặt $t=5-2x$. Khi $y=f\left( 5-2x \right)$ có 3 điểm cực trị $x=0,x=2,x=4$ thì $y=f\left( t \right)$ có 3 điểm cực trị $t=5,t=1,t=-3$ và $f\left( 5 \right)=0,f\left( 1 \right)=\dfrac{9}{4},f\left( -3 \right)=-4$.
Bảng xét dấu $y=f\left( t \right)$ như sau:
Xét $g\left( x \right)=2f\left( 4{{x}^{3}}+1 \right)+m-\dfrac{1}{2}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=24{{x}^{2}}{f}'\left( 4{{x}^{3}}+1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=0 \\
& 4{{x}^{3}}+1=5 \\
& 4{{x}^{3}}+1=1 \\
& 4{{x}^{3}}+1=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=0 \\
& x=1 \\
& {{x}^{3}}=0 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow y=g\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
Xét phương trình $2f\left( 4{{x}^{3}}+1 \right)+m-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow f\left( 4{{x}^{3}}+1 \right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{2}$.
Đặt $u=4{{x}^{3}}+1\Rightarrow u\in \mathbb{R}.$
Số nghiệm $f\left( 4{{x}^{3}}+1 \right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{2}$ bằng số nghiệm phương trình $f\left( u \right)=f\left( t \right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{2}$.
Để $y=\left| 2f\left( 4{{x}^{3}}+1 \right)+m-\dfrac{1}{2} \right|$ có 5 điểm cực trị thì $f\left( t \right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{2}$ có 2 nghiệm đơn phân biệt
Suy ra $\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{2}\ge \dfrac{9}{4} \\
& -4<\dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{2}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -4 \\
& \dfrac{1}{2}\le m<\dfrac{17}{2} \\
\end{aligned} \right. $. Vì $ m\in \left( -9;9 \right) $ và $ 2m\in \mathbb{Z}$ nên có 26 giá trị.