Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y=f\left( 5-2x \right)$ như hình vẽ bên dưới
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m\in \left[ 0;10 \right]$ để hàm số $y=2f\left( 4{{x}^{2}}+1-m \right)$ có 7 điểm cực trị?
A. $6$.
B. $5$.
C. $4$.
D. $3$.
A. $6$.
B. $5$.
C. $4$.
D. $3$.
Ta có $y=f\left( 5-2x \right)\Rightarrow y'=-2f'\left( 5-2x \right)$. Từ đồ thị, suy ra
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right. $. Đặt $ t=5-2x\Rightarrow x=\dfrac{5-t}{2},f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=5 \\
& t=1 \\
& t=-3 \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& g(x)=2f\left( 4{{x}^{2}}+1-m \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=16x.f'\left( 4{{x}^{2}}+1-m \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 4{{x}^{2}}+1-m=5 \\
& 4{{x}^{2}}+1-m=1 \\
& 4{{x}^{2}}+1-m=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{m+4}{4} \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{m}{4} \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{m-4}{4} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
để hàm số $y=g(x)=2f\left( 4{{x}^{2}}+1-m \right)$ có 7 điểm cực trị thì $g'(x)=0$ có 7 nghiệm phân biệt và $g'(x)$ đổi dấu qua 7 nghiệm đó. Từ đó suy ra $y=g\left( x \right)$ có 7 cực trị khi $m>4$ vì, đồng thời theo đề $m\in \left[ 0;10 \right]$. Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right. $. Đặt $ t=5-2x\Rightarrow x=\dfrac{5-t}{2},f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=5 \\
& t=1 \\
& t=-3 \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& g(x)=2f\left( 4{{x}^{2}}+1-m \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=16x.f'\left( 4{{x}^{2}}+1-m \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 4{{x}^{2}}+1-m=5 \\
& 4{{x}^{2}}+1-m=1 \\
& 4{{x}^{2}}+1-m=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{m+4}{4} \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{m}{4} \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{m-4}{4} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
để hàm số $y=g(x)=2f\left( 4{{x}^{2}}+1-m \right)$ có 7 điểm cực trị thì $g'(x)=0$ có 7 nghiệm phân biệt và $g'(x)$ đổi dấu qua 7 nghiệm đó. Từ đó suy ra $y=g\left( x \right)$ có 7 cực trị khi $m>4$ vì, đồng thời theo đề $m\in \left[ 0;10 \right]$. Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.