Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}.$ Đồ thị của hàm số ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ.
Biết $f\left( -3 \right)=0$ và $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( {{x}^{2}}-3 \right) \right|$ là
A. $3.$
B. $4.$
C. $5.$
D. $6.$
A. $3.$
B. $4.$
C. $5.$
D. $6.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=2x{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}-3=-2 \\
& {{x}^{2}}-3=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 1 \\
& x=\pm 2 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm $g\left( x \right)$ có $3$ điểm cực trị $\left( 1 \right)$.
Mặt khác $g\left( 0 \right)=f\left( -3 \right)=0$, nên phương trình $g\left( x \right)=0$ có $3$ nghiệm trong đó có một nghiệm kép $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta suy ra hàm số $y=\left| f\left( {{x}^{2}}-3 \right) \right|$ có $5$ điểm cực trị.
Ta có ${g}'\left( x \right)=2x{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}-3=-2 \\
& {{x}^{2}}-3=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 1 \\
& x=\pm 2 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên
Mặt khác $g\left( 0 \right)=f\left( -3 \right)=0$, nên phương trình $g\left( x \right)=0$ có $3$ nghiệm trong đó có một nghiệm kép $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta suy ra hàm số $y=\left| f\left( {{x}^{2}}-3 \right) \right|$ có $5$ điểm cực trị.
Đáp án C.
