Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đúng $4$ điểm chung với trục hoành như hình vẽ bên dưới:
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=f\left( {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|+m+2021 \right)+2023{{m}^{3}}$ có đúng $11$ điểm cực trị?
A. $0$.
B. $2$.
C. $5$.
D. $1$.
A. $0$.
B. $2$.
C. $5$.
D. $1$.
Với mỗi tham số $m$ thì số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|+m+2021 \right)+2023{{m}^{3}}$
và $y=f\left( {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|+m+2021 \right)$ bằng nhau.
Do đó ta chỉ cần tìm giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|+m+2021 \right)$
có đúng $11$ điểm cực trị.
Xét $x>0$ : Hàm số có dạng $y=f\left( {{x}^{3}}-3x+m+2021 \right)$.
Khi đó ta có đạo hàm như sau: ${y}'=\left( 3{{x}^{2}}-3 \right){f}'\left( {{x}^{3}}-3x+m+2021 \right)$.
Do nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-3x+m+2021=4$ là các nghiệm bội bậc chẵn của phương trình ${y}'=0$ nên ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm còn lại. Tức là
${y}'=0$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}-3=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{3}}-3x+m+2021 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftarrow $ $ \left[ \begin{aligned}
& x=1 \left( \text{do} x>0 \right) \\
& {{x}^{3}}-3x+m+2021=-1 \\
& {{x}^{3}}-3x+m+2021=1 \\
& {{x}^{3}}-3x+m+2021=2 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow $ $ \left[ \begin{aligned}
& x=1 \left( \text{do} x>0 \right) \\
& m+2021=-{{x}^{3}}+3x-1 \\
& m+2021=-{{x}^{3}}+3x+1 \\
& m+2021=-{{x}^{3}}+3x+2 \\
\end{aligned} \right.$
Vẽ đồ thị ba hàm số $y=-{{x}^{3}}+3x-1$ ; $y=-{{x}^{3}}+3x+1$ ; $y=-{{x}^{3}}+3x+2$ với $x>0$ trên cùng một hệ trục
Hàm số $y=f\left( {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|+m+2021 \right)$ có đúng $11$ điểm cực trị
$\Leftrightarrow $ Hàm số $y=f\left( {{x}^{3}}-3x+m+2021 \right)$ có đúng $5$ điểm cực trị dương
$\Leftrightarrow $ Phương trình ${f}'\left( {{x}^{3}}-3x+m+2021 \right)=0$ có đúng $4$ nghiệm bội lẻ dương và khác $1$
$\Leftrightarrow $ Đường thẳng $y=m+2021$ cắt đồ thị ba hàm số $y=-{{x}^{3}}+3x-1$ ; $y=-{{x}^{3}}+3x+1$ ; $y=-{{x}^{3}}+3x+2$ tại $4$ điểm phân biệt có hoành độ dương khác $1$
$\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& -1<m+2021<1 \\
& 2<m+2021<3 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow $ $ \left[ \begin{aligned}
& -2022<m<-2020 \\
& -2019<m<-2018 \\
\end{aligned} \right.$.
Do điều kiện $m$ nguyên nên $m=-2021$.
Vậy chỉ có $1$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
và $y=f\left( {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|+m+2021 \right)$ bằng nhau.
Do đó ta chỉ cần tìm giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|+m+2021 \right)$
có đúng $11$ điểm cực trị.
Xét $x>0$ : Hàm số có dạng $y=f\left( {{x}^{3}}-3x+m+2021 \right)$.
Khi đó ta có đạo hàm như sau: ${y}'=\left( 3{{x}^{2}}-3 \right){f}'\left( {{x}^{3}}-3x+m+2021 \right)$.
Do nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-3x+m+2021=4$ là các nghiệm bội bậc chẵn của phương trình ${y}'=0$ nên ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm còn lại. Tức là
${y}'=0$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}-3=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{3}}-3x+m+2021 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftarrow $ $ \left[ \begin{aligned}
& x=1 \left( \text{do} x>0 \right) \\
& {{x}^{3}}-3x+m+2021=-1 \\
& {{x}^{3}}-3x+m+2021=1 \\
& {{x}^{3}}-3x+m+2021=2 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow $ $ \left[ \begin{aligned}
& x=1 \left( \text{do} x>0 \right) \\
& m+2021=-{{x}^{3}}+3x-1 \\
& m+2021=-{{x}^{3}}+3x+1 \\
& m+2021=-{{x}^{3}}+3x+2 \\
\end{aligned} \right.$
Vẽ đồ thị ba hàm số $y=-{{x}^{3}}+3x-1$ ; $y=-{{x}^{3}}+3x+1$ ; $y=-{{x}^{3}}+3x+2$ với $x>0$ trên cùng một hệ trục
$\Leftrightarrow $ Hàm số $y=f\left( {{x}^{3}}-3x+m+2021 \right)$ có đúng $5$ điểm cực trị dương
$\Leftrightarrow $ Phương trình ${f}'\left( {{x}^{3}}-3x+m+2021 \right)=0$ có đúng $4$ nghiệm bội lẻ dương và khác $1$
$\Leftrightarrow $ Đường thẳng $y=m+2021$ cắt đồ thị ba hàm số $y=-{{x}^{3}}+3x-1$ ; $y=-{{x}^{3}}+3x+1$ ; $y=-{{x}^{3}}+3x+2$ tại $4$ điểm phân biệt có hoành độ dương khác $1$
$\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& -1<m+2021<1 \\
& 2<m+2021<3 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow $ $ \left[ \begin{aligned}
& -2022<m<-2020 \\
& -2019<m<-2018 \\
\end{aligned} \right.$.
Do điều kiện $m$ nguyên nên $m=-2021$.
Vậy chỉ có $1$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.
