Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên...

Hàm số $y=f\left( {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|+m+2023 \right)$ là hàm số chẵn. Suy ra hàm số có đúng 11 điểm cực trị khi hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}-3x+m+2023 \right)$ có 5 điểm cực trị dương.
$\begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}-3 \right){f}'\left( {{x}^{3}}-3x+m+2023 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{3}}-3x+m+2023=-1 \\
& {{x}^{3}}-3x+m+2023=1 \\
& {{x}^{3}}-3x+m+2023=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{3}}-3x+2023=-m-1 \\
& {{x}^{3}}-3x+2023=-m+1 \\
& {{x}^{3}}-3x+2023=-m+2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
(loại $x=-1$ vì chỉ nhận giá trị dương).
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+2023$ ta có ${h}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-1. \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Để $g\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị dương thì ${f}'\left( {{x}^{3}}-3x+m+2023 \right)$ phải có 4 nghiệm dương khác 1.
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{aligned}
& 2021<-m-1<2023 \\
& -m+1>2023 \\
& -m+2>2023 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2024<m<-2022\Rightarrow m=-2023$.
Trường hợp 2: $\left\{ \begin{aligned}
& 2021<-m+1<2023 \\
& 2021<-m+2<2023 \\
& -m-1\le 2021 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2022<m<-2020 \\
& -2021<m<-2019 \\
& m\ge -2022 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2021<m<-2020 $, không tồn tại giá trị nguyên $ m$.
Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|+m+2023 \right)$ có đúng 11 điểm cực trị.