Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Do đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $y=f\left( \left| 4-2x \right|+m-2020 \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số không có đạo hàm tại $x=2$ nhưng đạt cực trị tại $x=2$. Hơn nữa hàm số $y=f\left( \left| 4-2x \right|+m-2020 \right)$ có đồ thị đối xứng qua đường thẳng $x=2$. Do đó để hàm số $y=f\left( \left| 4-2x \right|+m-2020 \right)$ có $3$ điểm cực tiểu khi và chỉ khi hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, đạt cực tiểu tại điểm ${{x}_{A}}<2$ và ${{x}_{B}}>2$ với ${{x}_{A}}$ và ${{x}_{B}}$ đối xứng qua đường thẳng $x=2$. Điều này đồng nghĩa với việc hàm số $y=f\left( \left| 4-2x \right|+m-2020 \right)$ có $5$ điểm cực trị. Bảng biến thiên của hàm số cần tìm có dạng



• Với $x<2$ thì $y=f\left( \left| 4-2x \right|+m-2020 \right)=f\left( -2x+m-2016 \right).$
Ta có ${y}'=-2{f}'\left( -2x+m-2016 \right)$.
Xét ${y}'=0\Leftrightarrow {f}'(-2x+m-2016)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -2x+m-2016=-1 \\
& -2x+m-2016=1 \\
& -2x+m-2016=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{m-2015}{2} \\
& x=\dfrac{m-2017}{2} \\
& x=\dfrac{m-2020}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Ta thấy ${{x}_{1}}=\dfrac{m-2020}{2}<{{x}_{2}}=\dfrac{m-2017}{2}<{{x}_{3}}=\dfrac{m-2015}{2}$.
• Với $x>2$ thì $y=f\left( \left| 4-2x \right|+m-2020 \right)=f\left( 2x+m-2024 \right).$
Ta có ${y}'=2{f}'\left( 2x+m-2024 \right)$.
Xét ${y}'=0\Leftrightarrow {f}'(2x+m-2024)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x+m-2024=-1 \\
& 2x+m-2024=1 \\
& 2x+m-2024=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{2023-m}{2} \\
& x=\dfrac{2025-m}{2} \\
& x=\dfrac{2028-m}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Ta thấy ${{x}_{4}}=\dfrac{2023-m}{2}<{{x}_{5}}=\dfrac{2025-m}{2}<{{x}_{6}}=\dfrac{2028-m}{2}$.
Do đó để hàm số $y=f\left( \left| 4-2x \right|+m-2020 \right)$ có $5$ điểm cực trị như đã nói ở trên khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}

& {{x}_{2}}<2\le {{x}_{3}} \\

& {{x}_{4}}\le 2<{{x}_{5}} \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& \dfrac{m-2017}{2}<2\le \dfrac{m-2015}{2} \\

& \dfrac{2023-m}{2}\le 2<\dfrac{2025-m}{2} \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& 2019\le m<2021 \\

& 2019\le m<2021 \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2019\le m<2021.$

Vì $m$ là số nguyên dương nên $m=2019$ và $m=2020$.