Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${f}'\left( x \right)+4x-6x.{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-1}}=0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=-1$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{16}{3}$.
B. $\dfrac{32}{3}$.
C. $\dfrac{22}{3}$.
D. $\dfrac{27}{3}$.
A. $\dfrac{16}{3}$.
B. $\dfrac{32}{3}$.
C. $\dfrac{22}{3}$.
D. $\dfrac{27}{3}$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)+4x-6x.{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-1}}=0$
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)+4x=6x.\dfrac{{{e}^{{{x}^{2}}-1}}}{{{e}^{f\left( x \right)}}}$
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}+4x{{e}^{f\left( x \right)}}=6x.{{e}^{{{x}^{2}}-1}}$
$\Leftrightarrow {{e}^{2{{x}^{2}}}}.{{e}^{f\left( x \right)}}.{f}'\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}.{{e}^{2{{x}^{2}}}}.4x=6x.{{e}^{3{{x}^{2}}-1}}$
$\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{f\left( x \right)}}.{{e}^{2{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}={{e}^{3{{x}^{2}}-1}}.6x$
$\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)}}.{{e}^{2{{x}^{2}}}}=\int{{{e}^{3{{x}^{2}}-1}}.6x.dx}$
$\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)+2{{x}^{2}}}}=\int{{{e}^{3{{x}^{2}}-1}}.d\left( 3{{x}^{2}}-1 \right)}$
$\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)+2{{x}^{2}}}}={{e}^{3{{x}^{2}}-1}}+C$
Cho $x=0$ ta có ${{e}^{f\left( 0 \right)}}={{e}^{-1}}+C$ mà $f\left( 0 \right)=-1\Rightarrow C=0$
Suy ra $f\left( x \right)+2{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}-1\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}-1$
Khi đó : ${f}'\left( x \right)=2x,{{f}'}'\left( x \right)=2\Rightarrow {f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)=2x+2$
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y=f\left( x \right)$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)$ là ${{x}^{2}}-1=2x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng: $S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|}\text{d}x=\dfrac{32}{3}.$
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)+4x=6x.\dfrac{{{e}^{{{x}^{2}}-1}}}{{{e}^{f\left( x \right)}}}$
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}+4x{{e}^{f\left( x \right)}}=6x.{{e}^{{{x}^{2}}-1}}$
$\Leftrightarrow {{e}^{2{{x}^{2}}}}.{{e}^{f\left( x \right)}}.{f}'\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}.{{e}^{2{{x}^{2}}}}.4x=6x.{{e}^{3{{x}^{2}}-1}}$
$\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{f\left( x \right)}}.{{e}^{2{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}={{e}^{3{{x}^{2}}-1}}.6x$
$\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)}}.{{e}^{2{{x}^{2}}}}=\int{{{e}^{3{{x}^{2}}-1}}.6x.dx}$
$\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)+2{{x}^{2}}}}=\int{{{e}^{3{{x}^{2}}-1}}.d\left( 3{{x}^{2}}-1 \right)}$
$\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)+2{{x}^{2}}}}={{e}^{3{{x}^{2}}-1}}+C$
Cho $x=0$ ta có ${{e}^{f\left( 0 \right)}}={{e}^{-1}}+C$ mà $f\left( 0 \right)=-1\Rightarrow C=0$
Suy ra $f\left( x \right)+2{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}-1\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}-1$
Khi đó : ${f}'\left( x \right)=2x,{{f}'}'\left( x \right)=2\Rightarrow {f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)=2x+2$
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y=f\left( x \right)$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)$ là ${{x}^{2}}-1=2x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng: $S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|}\text{d}x=\dfrac{32}{3}.$
Đáp án B.
