Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( x \right)>0, \forall x\in \mathbb{R}$, đồng thời thỏa mãn $f\left( x \right).{f}'\left( x \right)-{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}=2{{e}^{6x}}, \forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 1 \right)=a.{{e}^{b}}$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Giá trị $a+b$ bằng
A. $4$.
B. $3$.
C. $2$.
D. $-2$.
A. $4$.
B. $3$.
C. $2$.
D. $-2$.
+ $f\left( x \right).{f}'\left( x \right)-{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}=2{{e}^{6x}}\Leftrightarrow 2{{e}^{-2x}}\left[ f\left( x \right).{f}'\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( x \right) \right]=4{{e}^{4x}}$ $\Leftrightarrow {{\left[ {{e}^{-2x}}.{{f}^{2}}\left( x \right) \right]}^{\prime }}=4{{e}^{4x}}\Rightarrow {{e}^{-2x}}.{{f}^{2}}\left( x \right)={{e}^{4x}}+C$.
+ $f\left( 0 \right)=1$ $\Rightarrow {{e}^{0}}.{{f}^{2}}\left( 0 \right)={{e}^{0}}+C\Rightarrow C=0$.
+ $f\left( 1 \right)=a.{{e}^{b}}$ $\Rightarrow {{e}^{-2}}.{{f}^{2}}\left( 1 \right)={{e}^{4}}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 1 \right)={{e}^{6}}\Rightarrow f\left( 1 \right)={{e}^{3}}$.
Vậy $a=1, b=3\Rightarrow a+b=4$.
+ $f\left( 0 \right)=1$ $\Rightarrow {{e}^{0}}.{{f}^{2}}\left( 0 \right)={{e}^{0}}+C\Rightarrow C=0$.
+ $f\left( 1 \right)=a.{{e}^{b}}$ $\Rightarrow {{e}^{-2}}.{{f}^{2}}\left( 1 \right)={{e}^{4}}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 1 \right)={{e}^{6}}\Rightarrow f\left( 1 \right)={{e}^{3}}$.
Vậy $a=1, b=3\Rightarrow a+b=4$.
Đáp án A.
