Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${f}'\left( x \right)-3f\left( x \right)=\left( 2{{x}^{2}}+1 \right){{e}^{{{x}^{2}}+3x-1}}$, $\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 2 \right)=2{{e}^{9}}$. Biết $f\left( 1 \right)=a{{e}^{b}}$ với $a,b\in \mathbb{N}$. Hệ thức nào sau đây đúng?
A. $a+2b=7$
B. $a-b=-3$
C. $a+b=5$
D. $a-2b=-4$
A. $a+2b=7$
B. $a-b=-3$
C. $a+b=5$
D. $a-2b=-4$
${f}'\left( x \right)-3f\left( x \right)=\left( 2{{x}^{2}}+1 \right){{e}^{{{x}^{2}}+3x-1}}\Leftrightarrow {f}'\left( x \right){{e}^{-3x+1}}-3{{e}^{-3x+1}}f\left( x \right)=\left( 2{{x}^{2}}+1 \right){{e}^{{{x}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( f\left( x \right){{e}^{-3x+1}} \right)}^{\prime }}=\left( 2{{x}^{2}}+1 \right){{e}^{{{x}^{2}}}}$ $\Rightarrow f\left( x \right){{e}^{-3x+1}}=\int{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right){{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=\int{2{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}+\int{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=2x{{e}^{{{x}^{2}}}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v={{e}^{{{x}^{2}}}} \\
\end{aligned} \right.$
$f\left( x \right){{e}^{-3x+1}}=x{{e}^{{{x}^{2}}}}-\int{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}+\int{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=x{{e}^{{{x}^{2}}}}+C$.
Mà $f\left( 2 \right)=2{{e}^{9}}$ nên $2{{e}^{9}}{{e}^{-5}}=2{{e}^{4}}+C\Leftrightarrow C=0$.
Vậy $f\left( x \right)=x{{e}^{{{x}^{2}}+3x-1}}$ $\Rightarrow f\left( 1 \right)={{e}^{3}}$.
Nên $a=1,b=3$
$\Leftrightarrow {{\left( f\left( x \right){{e}^{-3x+1}} \right)}^{\prime }}=\left( 2{{x}^{2}}+1 \right){{e}^{{{x}^{2}}}}$ $\Rightarrow f\left( x \right){{e}^{-3x+1}}=\int{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right){{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=\int{2{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}+\int{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=2x{{e}^{{{x}^{2}}}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v={{e}^{{{x}^{2}}}} \\
\end{aligned} \right.$
$f\left( x \right){{e}^{-3x+1}}=x{{e}^{{{x}^{2}}}}-\int{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}+\int{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=x{{e}^{{{x}^{2}}}}+C$.
Mà $f\left( 2 \right)=2{{e}^{9}}$ nên $2{{e}^{9}}{{e}^{-5}}=2{{e}^{4}}+C\Leftrightarrow C=0$.
Vậy $f\left( x \right)=x{{e}^{{{x}^{2}}+3x-1}}$ $\Rightarrow f\left( 1 \right)={{e}^{3}}$.
Nên $a=1,b=3$
Đáp án A.