Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)=1$, $f\left( x \right)>0$, $\forall x\ge 0$ và $f\left( x \right)-{f}'\left( x \right)={{\text{e}}^{-2x}}{{f}^{2}}\left( x \right)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường $y=f\left( x \right)$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ gần bằng với số nào sau nhất?
A. $1\text{,}25$.
B. $1\text{,}5$.
C. $1$.
D. $1\text{,}75$.
A. $1\text{,}25$.
B. $1\text{,}5$.
C. $1$.
D. $1\text{,}75$.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có $f\left( x \right)>0$, $\forall x\ge 0$ nên
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)-{f}'\left( x \right)={{\text{e}}^{-2x}}{{f}^{2}}\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{\text{e}}^{x}}f\left( x \right)-{{\text{e}}^{x}}{f}'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}={{\text{e}}^{-x}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( \dfrac{{{\text{e}}^{x}}}{f\left( x \right)} \right)}^{\prime }}={{\text{e}}^{-x}}\Leftrightarrow \dfrac{{{\text{e}}^{x}}}{f\left( x \right)}=-{{\text{e}}^{-x}}+C. \\
\end{aligned}$
Lại có $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=2$. Suy ra $f\left( x \right)=\dfrac{{{\text{e}}^{2x}}}{2{{\text{e}}^{x}}-1}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường $y=f\left( x \right)$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ bằng $S=\int\limits_{0}^{1}{\left| \dfrac{{{\text{e}}^{2x}}}{2{{\text{e}}^{x}}-1} \right|}\text{d}x\approx 1\text{,}23$.
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)-{f}'\left( x \right)={{\text{e}}^{-2x}}{{f}^{2}}\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{\text{e}}^{x}}f\left( x \right)-{{\text{e}}^{x}}{f}'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}={{\text{e}}^{-x}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( \dfrac{{{\text{e}}^{x}}}{f\left( x \right)} \right)}^{\prime }}={{\text{e}}^{-x}}\Leftrightarrow \dfrac{{{\text{e}}^{x}}}{f\left( x \right)}=-{{\text{e}}^{-x}}+C. \\
\end{aligned}$
Lại có $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=2$. Suy ra $f\left( x \right)=\dfrac{{{\text{e}}^{2x}}}{2{{\text{e}}^{x}}-1}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường $y=f\left( x \right)$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ bằng $S=\int\limits_{0}^{1}{\left| \dfrac{{{\text{e}}^{2x}}}{2{{\text{e}}^{x}}-1} \right|}\text{d}x\approx 1\text{,}23$.
Đáp án A.
