Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( x \right)\ne 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$, đồng thời thỏa mãn ${f}'\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}\cdot {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f\left( 0 \right)=-1$, khi đó $f\left( -1 \right)$ bằng
A. $\text{e}$.
B. $-1$.
C. $-\text{e}$.
D. $-\dfrac{1}{\text{e}}$.
A. $\text{e}$.
B. $-1$.
C. $-\text{e}$.
D. $-\dfrac{1}{\text{e}}$.
Ta có ${f}'\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}\cdot {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}={{\text{e}}^{x}}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{f\left( x \right)}={{\text{e}}^{x}}+C$.
Mặt khác $f\left( 0 \right)=-1$ suy ra $C=0$.
Do đó $f\left( x \right)=-{{\text{e}}^{-x}}$ nên $f\left( -1 \right)=-\text{e}$.
Mặt khác $f\left( 0 \right)=-1$ suy ra $C=0$.
Do đó $f\left( x \right)=-{{\text{e}}^{-x}}$ nên $f\left( -1 \right)=-\text{e}$.
Đáp án C.