Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)=2x{{\text{e}}^{x}}$, $\forall x\in \mathbb{R}$ ; $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=0$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2f\left( x \right)$ ; $y={f}'\left( x \right)$ và trục tung bằng
A. $\dfrac{2\text{e}\sqrt{\text{e}}-5}{2}$.
B. $3-\text{e}$.
C. $3-{{\text{e}}^{2}}$.
D. $\dfrac{\text{e}\sqrt{\text{e}}-5}{2}$.
A. $\dfrac{2\text{e}\sqrt{\text{e}}-5}{2}$.
B. $3-\text{e}$.
C. $3-{{\text{e}}^{2}}$.
D. $\dfrac{\text{e}\sqrt{\text{e}}-5}{2}$.
Ta có
$ f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)=2x{{\text{e}}^{x}}\Leftrightarrow {{\text{e}}^{x}}f\left( x \right)+{{\text{e}}^{x}}{f}'\left( x \right)=2x{{\text{e}}^{2x}}\Leftrightarrow {{\left[ {{\text{e}}^{x}}f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=2x{{\text{e}}^{2x}}$
nên ${{\text{e}}^{x}}f\left( x \right)=\int{x\text{d}\left( {{\text{e}}^{2x}} \right)}=x{{\text{e}}^{2x}}-\int{{{\text{e}}^{2x}}\text{d}x}=x{{\text{e}}^{2x}}-\dfrac{1}{2}{{\text{e}}^{2x}}+C$.
Mặt khác $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=0$ suy ra ${{\text{e}}^{\dfrac{1}{2}}}f\left( \dfrac{1}{2} \right)=C\Leftrightarrow C=0$.
Do đó $f\left( x \right)=x{{\text{e}}^{x}}-\dfrac{1}{2}{{\text{e}}^{x}}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $y=2f\left( x \right)=2x{{\text{e}}^{x}}-{{\text{e}}^{x}}$ và $y={f}'\left( x \right)=x{{\text{e}}^{x}}+\dfrac{1}{2}{{\text{e}}^{x}}$ là
$2x{{\text{e}}^{x}}-{{\text{e}}^{x}}=x{{\text{e}}^{x}}+\dfrac{1}{2}{{\text{e}}^{x}}\Leftrightarrow x{{\text{e}}^{x}}=\dfrac{3}{2}{{\text{e}}^{x}}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2f\left( x \right)$ ; $y={f}'\left( x \right)$ và trục tung bằng
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{0}^{\dfrac{3}{2}}{\left| 2f\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=\left| \int\limits_{0}^{\dfrac{3}{2}}{\left( x-\dfrac{3}{2} \right){{\text{e}}^{x}}\text{d}x} \right|=\left| \int\limits_{0}^{\dfrac{3}{2}}{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)\text{d}\left( {{\text{e}}^{x}} \right)} \right| \\
& =\left| \left. \left( x-\dfrac{3}{2} \right){{\text{e}}^{x}} \right|_{0}^{\dfrac{3}{2}}-\int\limits_{0}^{\dfrac{3}{2}}{{{\text{e}}^{x}}\text{d}x} \right|=\left| \left. \left( x-\dfrac{3}{2} \right){{\text{e}}^{x}} \right|_{0}^{\dfrac{3}{2}}-\left. {{\text{e}}^{x}} \right|_{0}^{\dfrac{3}{2}} \right|=-\dfrac{5}{2}\text{+}{{\text{e}}^{\dfrac{3}{2}}}. \\
\end{aligned}$
$ f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)=2x{{\text{e}}^{x}}\Leftrightarrow {{\text{e}}^{x}}f\left( x \right)+{{\text{e}}^{x}}{f}'\left( x \right)=2x{{\text{e}}^{2x}}\Leftrightarrow {{\left[ {{\text{e}}^{x}}f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=2x{{\text{e}}^{2x}}$
nên ${{\text{e}}^{x}}f\left( x \right)=\int{x\text{d}\left( {{\text{e}}^{2x}} \right)}=x{{\text{e}}^{2x}}-\int{{{\text{e}}^{2x}}\text{d}x}=x{{\text{e}}^{2x}}-\dfrac{1}{2}{{\text{e}}^{2x}}+C$.
Mặt khác $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=0$ suy ra ${{\text{e}}^{\dfrac{1}{2}}}f\left( \dfrac{1}{2} \right)=C\Leftrightarrow C=0$.
Do đó $f\left( x \right)=x{{\text{e}}^{x}}-\dfrac{1}{2}{{\text{e}}^{x}}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $y=2f\left( x \right)=2x{{\text{e}}^{x}}-{{\text{e}}^{x}}$ và $y={f}'\left( x \right)=x{{\text{e}}^{x}}+\dfrac{1}{2}{{\text{e}}^{x}}$ là
$2x{{\text{e}}^{x}}-{{\text{e}}^{x}}=x{{\text{e}}^{x}}+\dfrac{1}{2}{{\text{e}}^{x}}\Leftrightarrow x{{\text{e}}^{x}}=\dfrac{3}{2}{{\text{e}}^{x}}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2f\left( x \right)$ ; $y={f}'\left( x \right)$ và trục tung bằng
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{0}^{\dfrac{3}{2}}{\left| 2f\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=\left| \int\limits_{0}^{\dfrac{3}{2}}{\left( x-\dfrac{3}{2} \right){{\text{e}}^{x}}\text{d}x} \right|=\left| \int\limits_{0}^{\dfrac{3}{2}}{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)\text{d}\left( {{\text{e}}^{x}} \right)} \right| \\
& =\left| \left. \left( x-\dfrac{3}{2} \right){{\text{e}}^{x}} \right|_{0}^{\dfrac{3}{2}}-\int\limits_{0}^{\dfrac{3}{2}}{{{\text{e}}^{x}}\text{d}x} \right|=\left| \left. \left( x-\dfrac{3}{2} \right){{\text{e}}^{x}} \right|_{0}^{\dfrac{3}{2}}-\left. {{\text{e}}^{x}} \right|_{0}^{\dfrac{3}{2}} \right|=-\dfrac{5}{2}\text{+}{{\text{e}}^{\dfrac{3}{2}}}. \\
\end{aligned}$
Đáp án A.