Google
Câu hỏi: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)=2$ và $\left( 2x+1 \right).{f}'\left( x \right)-3{{x}^{2}}=8x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+2\left( 3-f\left( x \right) \right)$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f\left( x \right)$, $y={f}'\left( x \right)$.
A. $S=\dfrac{1}{4}$.
B. $S=\dfrac{3}{4}$.
C. $S=\dfrac{2}{3}$.
D. $S=\dfrac{1}{2}$.
A. $S=\dfrac{1}{4}$.
B. $S=\dfrac{3}{4}$.
C. $S=\dfrac{2}{3}$.
D. $S=\dfrac{1}{2}$.
Ta có:
$ \left( 2x+1 \right).{f}'\left( x \right)-3{{x}^{2}}=8x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+2\left( 3-f\left( x \right) \right)\Leftrightarrow \left( 2x+1 \right).{f}'\left( x \right)+2f\left( x \right)=8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+8x+6$
$ \Leftrightarrow {{\left[ \left( 2x+1 \right).f\left( x \right) \right]}^{'}}=8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+8x+6$
$\Rightarrow \left( 2x+1 \right).f\left( x \right)=\int{\left( 8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+8x+6 \right)}dx=2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+6x+C$
Mà $f\left( 0 \right)=2$ nên suy ra $C=2$. Khi đó:
$\left( 2x+1 \right).f\left( x \right)=2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+6x+2=\left( 2x+1 \right)\left( {{x}^{3}}+2x+2 \right)\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x+2$
Suy ra: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2$
Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cong $y=f\left( x \right)$, $y={f}'\left( x \right)$ là:
${{x}^{3}}+2x+2=3{{x}^{2}}+2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f\left( x \right)$, $y={f}'\left( x \right)$ bằng:
$S=\int\limits_{0}^{2}{\left| \left( {{x}^{3}}+2x+2 \right)-\left( 3{{x}^{2}}+2 \right) \right|}\text{d}x=\dfrac{1}{2}.$
$ \left( 2x+1 \right).{f}'\left( x \right)-3{{x}^{2}}=8x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+2\left( 3-f\left( x \right) \right)\Leftrightarrow \left( 2x+1 \right).{f}'\left( x \right)+2f\left( x \right)=8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+8x+6$
$ \Leftrightarrow {{\left[ \left( 2x+1 \right).f\left( x \right) \right]}^{'}}=8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+8x+6$
$\Rightarrow \left( 2x+1 \right).f\left( x \right)=\int{\left( 8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+8x+6 \right)}dx=2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+6x+C$
Mà $f\left( 0 \right)=2$ nên suy ra $C=2$. Khi đó:
$\left( 2x+1 \right).f\left( x \right)=2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+6x+2=\left( 2x+1 \right)\left( {{x}^{3}}+2x+2 \right)\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x+2$
Suy ra: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2$
Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cong $y=f\left( x \right)$, $y={f}'\left( x \right)$ là:
${{x}^{3}}+2x+2=3{{x}^{2}}+2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f\left( x \right)$, $y={f}'\left( x \right)$ bằng:
$S=\int\limits_{0}^{2}{\left| \left( {{x}^{3}}+2x+2 \right)-\left( 3{{x}^{2}}+2 \right) \right|}\text{d}x=\dfrac{1}{2}.$
Đáp án D.