Google
Câu hỏi: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( x \right)+x.{f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-2x+4$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f\left( x \right)$, $y={f}'\left( x \right)$.
A. $S=4\pi $.
B. $S=8\pi $.
C. $S=8$.
D. $S=4$.
A. $S=4\pi $.
B. $S=8\pi $.
C. $S=8$.
D. $S=4$.
Ta có
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)+x.{f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-2x+4 \\
& \Leftrightarrow {{\left( \left( x+1 \right)f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-2x+4 \\
& \Leftrightarrow \left( x+1 \right)f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x+C. \\
\end{aligned}$
Cho $x=-1\Rightarrow C=2$ suy ra
$\left( x+1 \right)f\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+2 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+2$ $\left( x\ne -1 \right)$.
Do đó ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+2$, giải phương trình $f\left( x \right)={f}'\left( x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=4. \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f\left( x \right)$, $y={f}'\left( x \right)$ bằng $S=\int\limits_{0}^{2}{\left| f\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x \right|\text{d}x}=8$.
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)+x.{f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-2x+4 \\
& \Leftrightarrow {{\left( \left( x+1 \right)f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-2x+4 \\
& \Leftrightarrow \left( x+1 \right)f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x+C. \\
\end{aligned}$
Cho $x=-1\Rightarrow C=2$ suy ra
$\left( x+1 \right)f\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+2 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+2$ $\left( x\ne -1 \right)$.
Do đó ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+2$, giải phương trình $f\left( x \right)={f}'\left( x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=4. \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f\left( x \right)$, $y={f}'\left( x \right)$ bằng $S=\int\limits_{0}^{2}{\left| f\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x \right|\text{d}x}=8$.
Đáp án C.
