Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$...

Giả sử hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ suy ra ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
Khi đó $f(x)-{f}'(x)=a{{x}^{3}}+\left( b-3a \right){{x}^{2}}+\left( c-2b \right)x+d-c$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b-3a=-6 \\
& c-2b=7 \\
& d-c=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-3 \\
& c=1 \\
& d=-1. \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x-1$ và ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+1\Rightarrow x{f}'\left( x \right)=3{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+x$.
Giải phương trình $f\left( x \right)=x{f}'\left( x \right)\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{1}{2} \\
& x=1. \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích bằng $\int\limits_{-\dfrac{1}{2}}^{1}{\left| f\left( x \right)-x{f}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=\dfrac{27}{32}$.