Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x+4,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 1 \right)=5$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y={f}'\left( x \right)$.
A. $\dfrac{131}{4}$.
B. $\dfrac{125}{4}$.
C. $\dfrac{35}{4}$.
D. $\dfrac{203}{4}$.
A. $\dfrac{131}{4}$.
B. $\dfrac{125}{4}$.
C. $\dfrac{35}{4}$.
D. $\dfrac{203}{4}$.
Chọn $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
Suy ra $f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)=a{{x}^{3}}+\left( 3a+b \right){{x}^{2}}+\left( 2b+c \right)x+d+c$.
Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& 3a+b=3 \\
& 2b+c=-4 \\
& d+c=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
& c=-4 \\
& d=8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{x}^{3}}-4x+8 \\
& {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn).
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số $y=f\left( x \right),y={f}'\left( x \right)$ là:
$f\left( x \right)={f}'\left( x \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4x+8=3{{x}^{2}}-4\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=2 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y={f}'\left( x \right)$ bằng:
$S=\int\limits_{-2}^{3}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12 \right|\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{2}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12 \right)}\text{d}x+\int\limits_{2}^{3}{\left( -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x-12 \right)}=\dfrac{131}{4}$.
Suy ra $f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)=a{{x}^{3}}+\left( 3a+b \right){{x}^{2}}+\left( 2b+c \right)x+d+c$.
Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& 3a+b=3 \\
& 2b+c=-4 \\
& d+c=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
& c=-4 \\
& d=8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{x}^{3}}-4x+8 \\
& {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn).
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số $y=f\left( x \right),y={f}'\left( x \right)$ là:
$f\left( x \right)={f}'\left( x \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4x+8=3{{x}^{2}}-4\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=2 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y={f}'\left( x \right)$ bằng:
$S=\int\limits_{-2}^{3}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12 \right|\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{2}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12 \right)}\text{d}x+\int\limits_{2}^{3}{\left( -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x-12 \right)}=\dfrac{131}{4}$.
Đáp án A.