Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=0$. Đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới
Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ để hàm số $y=\left| 2f\left( \sin x \right)-3\cos 2x-a+9 \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ ?
A. $9$.
B. $5$.
C. $8$.
D. $6$.
A. $9$.
B. $5$.
C. $8$.
D. $6$.
Ta có: $y=\left| 2f\left( \sin x \right)-3\left( 1-2{{\sin }^{2}}x \right)-a+9 \right|$ $=\left| 2f\left( \sin x \right)+6{{\sin }^{2}}x+6-a \right|$
Đặt $t=\sin x, t\in \left( 0;1 \right)$. Khi đó, ta có: $y=\left| 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6-a \right|=\sqrt{{{\left[ 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6-a \right]}^{2}}}$
Ta có: $y'=\dfrac{\left( 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6-a \right)\left( 2f'\left( t \right)+12t \right)}{\sqrt{{{\left[ 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6-a \right]}^{2}}}}$.
Để hàm số đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$ thì
$y'>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow \left( 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6-a \right)\left( 2f'\left( t \right)+12t \right)>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)$.(1)
Dựa vào đồ thị $f'\left( t \right)$ ta thấy $2f'\left( t \right)+12t>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)$.
Do đó, $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6-a>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow a<2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6,\forall t\in \left( 0;1 \right)$ $\Rightarrow a\le \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} \left\{ 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6 \right\}$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6$ trên $\left[ 0;1 \right]$.
Ta có: $g'\left( t \right)=2f'\left( t \right)+12t>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)$ suy ra hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$
Do đó, $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 0 \right)=2f\left( 0 \right)+{{6.0}^{2}}+6=6$.
Vậy $a\le 6$. Mà $a\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ suy ra $a\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$.
Đặt $t=\sin x, t\in \left( 0;1 \right)$. Khi đó, ta có: $y=\left| 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6-a \right|=\sqrt{{{\left[ 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6-a \right]}^{2}}}$
Ta có: $y'=\dfrac{\left( 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6-a \right)\left( 2f'\left( t \right)+12t \right)}{\sqrt{{{\left[ 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6-a \right]}^{2}}}}$.
Để hàm số đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$ thì
$y'>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow \left( 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6-a \right)\left( 2f'\left( t \right)+12t \right)>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)$.(1)
Dựa vào đồ thị $f'\left( t \right)$ ta thấy $2f'\left( t \right)+12t>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)$.
Do đó, $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6-a>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow a<2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6,\forall t\in \left( 0;1 \right)$ $\Rightarrow a\le \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} \left\{ 2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6 \right\}$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=2f\left( t \right)+6{{t}^{2}}+6$ trên $\left[ 0;1 \right]$.
Ta có: $g'\left( t \right)=2f'\left( t \right)+12t>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)$ suy ra hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$
Do đó, $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 0 \right)=2f\left( 0 \right)+{{6.0}^{2}}+6=6$.
Vậy $a\le 6$. Mà $a\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ suy ra $a\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$.
Đáp án D.
