Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $A$, $B$ là hai điểm thuộc hai nhánh của $\left( C \right)$ và các tuyến tiếp của $\left( C \right)$ tại $A$, $B$ cắt các đường tiệm cận ngang và đứng của $\left( C \right)$ lần lượt tại các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$. Diện tích tứ giác $MNPQ$ có giá trị nhỏ nhất bằng?
A. $8$
B. $16$
C. $4$
D. $32$
A. $8$
B. $16$
C. $4$
D. $32$
Ta có đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng là $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$.
Gọi $A\left( a;\dfrac{a+1}{a-1} \right)$, $B\left( b;\dfrac{b+1}{b-1} \right)$ $\left( a<1<b \right)$ là hai điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$.
Ta có phương trình tiếp tuyến tại $A$ và $B$ lần lượt là ${{d}_{1}}:y=\dfrac{-2}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)+\dfrac{a+1}{a-1}$ và ${{d}_{2}}:y=\dfrac{-2}{{{\left( b-1 \right)}^{2}}}\left( x-b \right)+\dfrac{b+1}{b-1}$.
Thay $y=1$ vào ${{d}_{1}}$ ta có $1=\dfrac{-2}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)+\dfrac{a+1}{a-1}\Leftrightarrow \dfrac{-2}{a-1}=\dfrac{-2}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)\Leftrightarrow x=2a-1$
Thay $x=1$ vào ${{d}_{1}}$ ta có $y=\dfrac{-2}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\left( 1-a \right)+\dfrac{a+1}{a-1}=\dfrac{2}{a-1}+\dfrac{2}{a-1}+1=\dfrac{4}{a-1}+1$
Giao điểm của ${{d}_{1}}$ với đường thẳng $y=1$ là $M\left( 2a-1;1 \right)$
Giao điểm của ${{d}_{1}}$ với đường thẳng $x=1$ là $N\left( 1;\dfrac{4}{a-1}+1 \right)$
Giao điểm của ${{d}_{2}}$ với đường thẳng $y=1$ là $P\left( 2b-1;1 \right)$
Giao điểm của ${{d}_{2}}$ với đường thẳng $x=1$ là $Q\left( 1;\dfrac{4}{b-1}+1 \right)$
Tứ giác $MNPQ$ có hai đường chéo $MP$ và $NQ$ vuông góc nên ${{S}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{2}MP.NQ$.
Ta có $=\dfrac{1}{2}MP.NQ=\left( b-a \right)\left[ \dfrac{4}{b-1}-\dfrac{4}{a-1} \right]=\left( b-a \right)\left[ \dfrac{4}{b-1}+\dfrac{4}{1-a} \right]\ge \left( b-a \right)\dfrac{16}{b-a}=16$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
b-1=1-a \\
\left( b-a \right)\left[ \dfrac{4}{b-1}-\dfrac{4}{a-1} \right]=16 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b=2 \\
\end{matrix} \right.$.
Gọi $A\left( a;\dfrac{a+1}{a-1} \right)$, $B\left( b;\dfrac{b+1}{b-1} \right)$ $\left( a<1<b \right)$ là hai điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$.
Ta có phương trình tiếp tuyến tại $A$ và $B$ lần lượt là ${{d}_{1}}:y=\dfrac{-2}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)+\dfrac{a+1}{a-1}$ và ${{d}_{2}}:y=\dfrac{-2}{{{\left( b-1 \right)}^{2}}}\left( x-b \right)+\dfrac{b+1}{b-1}$.
Thay $y=1$ vào ${{d}_{1}}$ ta có $1=\dfrac{-2}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)+\dfrac{a+1}{a-1}\Leftrightarrow \dfrac{-2}{a-1}=\dfrac{-2}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)\Leftrightarrow x=2a-1$
Thay $x=1$ vào ${{d}_{1}}$ ta có $y=\dfrac{-2}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\left( 1-a \right)+\dfrac{a+1}{a-1}=\dfrac{2}{a-1}+\dfrac{2}{a-1}+1=\dfrac{4}{a-1}+1$
Giao điểm của ${{d}_{1}}$ với đường thẳng $y=1$ là $M\left( 2a-1;1 \right)$
Giao điểm của ${{d}_{1}}$ với đường thẳng $x=1$ là $N\left( 1;\dfrac{4}{a-1}+1 \right)$
Giao điểm của ${{d}_{2}}$ với đường thẳng $y=1$ là $P\left( 2b-1;1 \right)$
Giao điểm của ${{d}_{2}}$ với đường thẳng $x=1$ là $Q\left( 1;\dfrac{4}{b-1}+1 \right)$
Tứ giác $MNPQ$ có hai đường chéo $MP$ và $NQ$ vuông góc nên ${{S}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{2}MP.NQ$.
Ta có $=\dfrac{1}{2}MP.NQ=\left( b-a \right)\left[ \dfrac{4}{b-1}-\dfrac{4}{a-1} \right]=\left( b-a \right)\left[ \dfrac{4}{b-1}+\dfrac{4}{1-a} \right]\ge \left( b-a \right)\dfrac{16}{b-a}=16$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
b-1=1-a \\
\left( b-a \right)\left[ \dfrac{4}{b-1}-\dfrac{4}{a-1} \right]=16 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b=2 \\
\end{matrix} \right.$.
Đáp án B.
