Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+2}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai tiệm cận của $\left( C \right)$. Xét tam giác đều $ABI$ có hai đỉnh $A$, $B$ thuộc $\left( C \right)$, đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng
A. $\sqrt{6}$.
B. $2\sqrt{3}$.
C. $2$.
D. $2\sqrt{2}$.
A. $\sqrt{6}$.
B. $2\sqrt{3}$.
C. $2$.
D. $2\sqrt{2}$.
$\left( C \right)$ : $y=\dfrac{x-1}{x+2}$ $=1-\dfrac{3}{x+2}$. $I\left( -2;1 \right)$ là giao điểm hai đường tiệm cận của $\left( C \right)$.
Ta có: $A\left( a;1-\dfrac{3}{a+2} \right)\in \left( C \right)$, $B\left( b;1-\dfrac{3}{b+2} \right)\in \left( C \right)$ ;
$\overrightarrow{IA}=\left( a+2;-\dfrac{3}{a+2} \right)$, $\overrightarrow{IB}=\left( b+2;-\dfrac{3}{b+2} \right)$.
Đặt ${{a}_{1}}=a+2$, ${{b}_{1}}=b+2$ ( ${{a}_{1}}\ne 0$, ${{b}_{1}}\ne 0$ ; ${{a}_{1}}\ne {{b}_{1}}$ ).
Tam giác $ABI$ đều khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}} \\
& \cos \left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB} \right)=\cos 60{}^\circ \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a_{1}^{2}+\dfrac{9}{a_{1}^{2}}=b_{1}^{2}+\dfrac{9}{b_{1}^{2}} \\
& \dfrac{\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}}{IA.IB}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a_{1}^{2}+\dfrac{9}{a_{1}^{2}}=b_{1}^{2}+\dfrac{9}{b_{1}^{2}} \left( 1 \right) \\
& \dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+\dfrac{9}{{{a}_{1}}{{b}_{1}}}}{a_{1}^{2}+\dfrac{9}{a_{1}^{2}}}=\dfrac{1}{2} \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+9\left( \dfrac{1}{a_{1}^{2}}-\dfrac{1}{b_{1}^{2}} \right)=0$ $\Leftrightarrow a_{1}^{2}-b_{1}^{2}-9\left( \dfrac{1}{b_{1}^{2}}-\dfrac{1}{a_{1}^{2}} \right)=0$
$\Leftrightarrow a_{1}^{2}-b_{1}^{2}-9\left( \dfrac{a_{1}^{2}-b_{1}^{2}}{a_{1}^{2}b_{1}^{2}} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( a_{1}^{2}-b_{1}^{2} \right)\left( 1-\dfrac{9}{a_{1}^{2}b_{1}^{2}} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a_{1}^{2}=b_{1}^{2} \\
& a_{1}^{2}b_{1}^{2}=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{a}_{1}}={{b}_{1}} \\
& {{a}_{1}}=-{{b}_{1}} \\
& {{a}_{1}}{{b}_{1}}=3 \\
& {{a}_{1}}{{b}_{1}}=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp ${{a}_{1}}={{b}_{1}}$ loại vì $A\equiv /B$ ; ${{a}_{1}}=-{{b}_{1}}$, ${{a}_{1}}{{b}_{1}}=-3$ (loại vì không thỏa $\left( 2 \right)$ ).
Do đó ${{a}_{1}}{{b}_{1}}=3$, thay vào $\left( 2 \right)$ ta được $\dfrac{3+\dfrac{9}{3}}{a_{1}^{2}+\dfrac{9}{a_{1}^{2}}}=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow a_{1}^{2}+\dfrac{9}{a_{1}^{2}}=12$.
Vậy $AB=IA$ $=\sqrt{a_{1}^{2}+\dfrac{9}{a_{1}^{2}}}$ $=2\sqrt{3}$.
Ta có: $A\left( a;1-\dfrac{3}{a+2} \right)\in \left( C \right)$, $B\left( b;1-\dfrac{3}{b+2} \right)\in \left( C \right)$ ;
$\overrightarrow{IA}=\left( a+2;-\dfrac{3}{a+2} \right)$, $\overrightarrow{IB}=\left( b+2;-\dfrac{3}{b+2} \right)$.
Đặt ${{a}_{1}}=a+2$, ${{b}_{1}}=b+2$ ( ${{a}_{1}}\ne 0$, ${{b}_{1}}\ne 0$ ; ${{a}_{1}}\ne {{b}_{1}}$ ).
Tam giác $ABI$ đều khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}} \\
& \cos \left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB} \right)=\cos 60{}^\circ \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a_{1}^{2}+\dfrac{9}{a_{1}^{2}}=b_{1}^{2}+\dfrac{9}{b_{1}^{2}} \\
& \dfrac{\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}}{IA.IB}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a_{1}^{2}+\dfrac{9}{a_{1}^{2}}=b_{1}^{2}+\dfrac{9}{b_{1}^{2}} \left( 1 \right) \\
& \dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+\dfrac{9}{{{a}_{1}}{{b}_{1}}}}{a_{1}^{2}+\dfrac{9}{a_{1}^{2}}}=\dfrac{1}{2} \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+9\left( \dfrac{1}{a_{1}^{2}}-\dfrac{1}{b_{1}^{2}} \right)=0$ $\Leftrightarrow a_{1}^{2}-b_{1}^{2}-9\left( \dfrac{1}{b_{1}^{2}}-\dfrac{1}{a_{1}^{2}} \right)=0$
$\Leftrightarrow a_{1}^{2}-b_{1}^{2}-9\left( \dfrac{a_{1}^{2}-b_{1}^{2}}{a_{1}^{2}b_{1}^{2}} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( a_{1}^{2}-b_{1}^{2} \right)\left( 1-\dfrac{9}{a_{1}^{2}b_{1}^{2}} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a_{1}^{2}=b_{1}^{2} \\
& a_{1}^{2}b_{1}^{2}=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{a}_{1}}={{b}_{1}} \\
& {{a}_{1}}=-{{b}_{1}} \\
& {{a}_{1}}{{b}_{1}}=3 \\
& {{a}_{1}}{{b}_{1}}=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp ${{a}_{1}}={{b}_{1}}$ loại vì $A\equiv /B$ ; ${{a}_{1}}=-{{b}_{1}}$, ${{a}_{1}}{{b}_{1}}=-3$ (loại vì không thỏa $\left( 2 \right)$ ).
Do đó ${{a}_{1}}{{b}_{1}}=3$, thay vào $\left( 2 \right)$ ta được $\dfrac{3+\dfrac{9}{3}}{a_{1}^{2}+\dfrac{9}{a_{1}^{2}}}=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow a_{1}^{2}+\dfrac{9}{a_{1}^{2}}=12$.
Vậy $AB=IA$ $=\sqrt{a_{1}^{2}+\dfrac{9}{a_{1}^{2}}}$ $=2\sqrt{3}$.
Đáp án B.