Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{x+1}$ đồ thị ${C}$. Gọi ${d}$ là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị ${C}$ đến một tiếp tuyến của ${C}$. Giá trị lớn nhất của ${d}$ có thể đạt được là
A. $3\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $2\sqrt{2}$.
A. $3\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $2\sqrt{2}$.
Ta có đồ thị ${C}$ có đường tiệm cận đứng là $x=-1$ và đường tiệm cận ngang là $y=1$.
Suy ra giao điểm của hai đường tiêm cận là $I\left( -1;1 \right)$.
Lấy $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right),{{x}_{0}}\ne -1$ tuỳ ý.
Suy ra tiếp tuyến của đồ thị ${C}$ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là $\Delta :y=\dfrac{-1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$ hay $\Delta :x+{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}y-x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}-2=0$.
Khoảng cách từ điểm ${I}$ đến tiếp tuyến của đồ thị ${C}$ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là
$d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{\left| -2{{x}_{0}}-2 \right|}{\sqrt{1+{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{4}}}}=\dfrac{2\left| {{x}_{0}}+1 \right|}{\sqrt{1+{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{4}}}}=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}+{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}}\le \dfrac{2}{\sqrt{2\sqrt{\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}.{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}}}=\sqrt{2}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}={{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{4}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=0 \\
& {{x}_{0}}=-2 \\
\end{aligned} \right.$ (thoả mãn).
Suy ra giao điểm của hai đường tiêm cận là $I\left( -1;1 \right)$.
Lấy $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right),{{x}_{0}}\ne -1$ tuỳ ý.
Suy ra tiếp tuyến của đồ thị ${C}$ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là $\Delta :y=\dfrac{-1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$ hay $\Delta :x+{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}y-x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}-2=0$.
Khoảng cách từ điểm ${I}$ đến tiếp tuyến của đồ thị ${C}$ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là
$d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{\left| -2{{x}_{0}}-2 \right|}{\sqrt{1+{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{4}}}}=\dfrac{2\left| {{x}_{0}}+1 \right|}{\sqrt{1+{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{4}}}}=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}+{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}}\le \dfrac{2}{\sqrt{2\sqrt{\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}.{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}}}=\sqrt{2}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}={{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{4}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=0 \\
& {{x}_{0}}=-2 \\
\end{aligned} \right.$ (thoả mãn).
Đáp án C.
