Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x+1}$ $\left( C \right)$. Có bao nhiêu...

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và đồ thị $\left( C \right)$ là
$\dfrac{2x+1}{x+1}=-2x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2{{x}^{2}}+\left( m-4 \right)x+m-1=0 (*) \\
& x\ne -1 \\
\end{aligned} \right..$
Đường thẳng $d$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ khi phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}+8>0 \\
& 1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \forall m\in \mathbb{R}$
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( * \right)$, ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{m-4}{2}; {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{m-1}{-2}$.
Do đó $A\left( {{x}_{1}};-2{{x}_{1}}+m \right)$, $B\left( {{x}_{2}};-2{{x}_{2}}+m \right)$
+ $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( -2\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right) \right)}^{2}}}=\sqrt{5}\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\sqrt{5}\sqrt{{{\left( \dfrac{m-4}{2} \right)}^{2}}+4\dfrac{m-1}{2}}=\sqrt{5}\sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}+8}{4}}$
+ ${{h}_{O}}=d\left( O,d \right)=\dfrac{\left| m \right|}{\sqrt{5}}$
Ta có ${{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}AB.{{h}_{O}}\Leftrightarrow 2\sqrt{3}=\left| m \right|\sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}+8}{4}}$
$\Leftrightarrow {{m}^{4}}+8{{m}^{2}}-48=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=-2. \\
\end{aligned} \right.$