Cho hàm số $y=\left| -\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}\left(...

Đặt $g\left( x \right)=-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}\left( 2m+3 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+3m \right)x+\dfrac{2}{3}$
Ta có: ${g}'\left( x \right)=-{{x}^{2}}+\left( 2m+3 \right)x-\left( {{m}^{2}}+3m \right)=\left( m-x \right)\left( x-m-3 \right)$
Để hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1 ;2 \right)$ :
TH1. $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( 2 \right)\ge 0 \\
& {g}'\left( x \right)\le 0, \forall x\in \left( 1 ;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2{{m}^{2}}-2m+4\ge 0 \\
& \left( 1;2 \right)\subset \left( -\infty ;m \right]\cup \left[ m+3;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2\le m\le 1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le -2 \\
& m\ge 2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-2$.
TH2. $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( 2 \right)\le 0 \\
& {g}'\left( x \right)\ge 0, \forall x\in \left( 1 ;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2{{m}^{2}}-2m+4\le 0 \\
& \left( 1;2 \right)\subset \left[ m;m+3 \right] \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\le -2 \\
& m\ge 1 \\
\end{aligned} \right. \\
& -1\le m\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=1$.
Vậy tập các số nguyên $m$ thỏa mãn đề bài là $\left\{ -2;1 \right\}$.