Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+mx-1}{x-1}$ ( $m$ là tham số ). Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A, B$ mà diện tích của tam giác $OAB$ bằng $2\sqrt{2}$. Độ dài $AB$ bằng
A. $2\sqrt{10}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $2\sqrt{5}$.
D. $4$.
A. $2\sqrt{10}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $2\sqrt{5}$.
D. $4$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
Ta có: ${y}'=\dfrac{{{x}^{2}}-2x-m+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$.
${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x\ne 1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& 1-2-m+1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& -m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>0$
Tọa độ hai điểm cực trị: $A\left( 1-\sqrt{m};m-2\sqrt{m}+2 \right), B\left( 1+\sqrt{m};m+2\sqrt{m}+2 \right)$.
$ \overrightarrow{AB}=\left( 2\sqrt{m};4\sqrt{m} \right)$, $ AB=2\sqrt{5m}$.
Phương trình đường thẳng $AB:-2x+y-m=0$
$\begin{aligned}
& {{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}d\left( O;AB \right).AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left| -m \right|}{\sqrt{5}}.2\sqrt{5m}=2\sqrt{2} \\
& \Leftrightarrow \left| m \right|\sqrt{m}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow m=2 \\
\end{aligned}$.
Vậy $ AB=2\sqrt{10}$
Ta có: ${y}'=\dfrac{{{x}^{2}}-2x-m+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$.
${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x\ne 1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& 1-2-m+1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& -m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>0$
Tọa độ hai điểm cực trị: $A\left( 1-\sqrt{m};m-2\sqrt{m}+2 \right), B\left( 1+\sqrt{m};m+2\sqrt{m}+2 \right)$.
$ \overrightarrow{AB}=\left( 2\sqrt{m};4\sqrt{m} \right)$, $ AB=2\sqrt{5m}$.
Phương trình đường thẳng $AB:-2x+y-m=0$
$\begin{aligned}
& {{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}d\left( O;AB \right).AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left| -m \right|}{\sqrt{5}}.2\sqrt{5m}=2\sqrt{2} \\
& \Leftrightarrow \left| m \right|\sqrt{m}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow m=2 \\
\end{aligned}$.
Vậy $ AB=2\sqrt{10}$
Đáp án A.
