Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ $\left( C \right)$. Có bao nhiêu...

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị
$\dfrac{x+1}{x-1}=2x+m\Leftrightarrow x+1=\left( 2x+m \right)\left( x-1 \right)\Leftrightarrow x+1=2{{x}^{2}}-2x+mx-m$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-m-1=0$
Đặt $g\left( x \right)=2{{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-m-1$
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{A}}$, ${{x}_{B}}$ khác $1$, nghĩa là
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& g\left( 1 \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( m-3 \right)}^{2}}+8\left( m+1 \right)>0 \\
& 2+m-3-m-1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-6m+9+8m+8>0 \\
& -2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+2m+17>0 \\
& -2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$ (đúng)
Áp dụng định lý Vi-ét ta có $\left\{ \begin{aligned}
& S={{x}_{A}}+{{x}_{B}}=\dfrac{3-m}{2} \\
& P={{x}_{A}}{{x}_{B}}=-\dfrac{m+1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Từ đó suy ra tọa độ điểm $A\left( {{x}_{A}};2{{x}_{A}}+m \right)$, $B\left( {{x}_{B}};2{{x}_{B}}+m \right)$
Ta có $OA=\sqrt{x_{A}^{2}+{{\left( 2{{x}_{A}}+m \right)}^{2}}}$, $OB=\sqrt{x_{B}^{2}+{{\left( 2{{x}_{B}}+m \right)}^{2}}}$,
$AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{x}_{B}}-2{{x}_{A}} \right)}^{2}}}=\sqrt{5{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}}$
Áp dụng định lý cos trong $\Delta OAB$ ta có
$\cos \widehat{AOB}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2OA.OB}$
Theo đề, góc $\widehat{AOB}$ nhọn nên
$\cos \widehat{AOB}>0\Leftrightarrow \dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2OA.OB}>0\Leftrightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}>A{{B}^{2}}$
$\Leftrightarrow x_{A}^{2}+{{\left( 2{{x}_{A}}+m \right)}^{2}}+x_{B}^{2}+{{\left( 2{{x}_{B}}+m \right)}^{2}}>5{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow x_{A}^{2}+4x_{A}^{2}+4m\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)+x_{B}^{2}+4x_{B}^{2}+2{{m}^{2}}>5\left( x_{A}^{2}-2{{x}_{A}}{{x}_{B}}+x_{B}^{2} \right)$
$\Leftrightarrow 4m\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)+2{{m}^{2}}>-10{{x}_{A}}{{x}_{B}}$
$\Leftrightarrow 4mS+2{{m}^{2}}>-10P\Leftrightarrow 4m\left( \dfrac{3-m}{2} \right)+2{{m}^{2}}>\dfrac{10\left( m+1 \right)}{2}$
$\Leftrightarrow 2m\left( 3-m \right)+2{{m}^{2}}>5\left( m+1 \right)\Leftrightarrow 6m-2{{m}^{2}}+2{{m}^{2}}>5m+5\Leftrightarrow m>5$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]$ nên suy ra $m\in \left\{ 6;7;8;9;10 \right\}$
Vậy có 5 giá trị $m$ thỏa đề.