Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}\left( m+3...

Ta có $y'={{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+{{m}^{2}}.$
Hàm số đạt cực trị tại $x=1$ nên $y'\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow {{1}^{2}}-\left( m+3 \right).1+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right..$
Kiểm tra
Với $m=2$ ta có $y'={{x}^{2}}-5x+4.$
Cho $y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right..$
Do $x=1$ là nghiệm đơn của phương trình $y'=0$ nên $x=1$ là cực trị của hàm số. Do đó $m=2$ thỏa mãn.
Với $m=-1$ ta có $y'={{x}^{2}}-2x+1.$
Cho $y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0\Leftrightarrow x=1.$
Do $x=1$ là nghiệm kép của phương trình $y'=0$ nên $x=1$ không là cực trị của hàm số. Do đó $m=-1$ không thỏa mãn.
Vậy có 1 số thực $m$ để hàm số đạt cực trị tại $x=1.$