Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 2{{m}^{2}}-3m+1 \right)x-2$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để trên $\left( C \right)$ luôn tồn tại hai điểm $A,B$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ vuông góc với đường thẳng $x+5y+10=0$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $5$.
D. $4$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $5$.
D. $4$.
Ta có: $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 2{{m}^{2}}-3m+1 \right)x-2\Rightarrow {y}'={{x}^{2}}-2mx+2{{m}^{2}}-3m+1$.
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ vuông góc với đường thẳng $x+5y+10=0\Rightarrow {y}'\left( {{x}_{0}} \right).\left( -\dfrac{1}{5} \right)=-1$
$\Leftrightarrow {{x}_{0}}^{2}-2m{{x}_{0}}+2{{m}^{2}}-3m+1=5\Leftrightarrow {{x}_{0}}^{2}-2m{{x}_{0}}+2{{m}^{2}}-3m-4=0 \left( * \right)$.
Để luôn tồn tại hai điểm $A,B$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ vuông góc với đường thẳng $x+5y+10=0$ thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\left( 2{{m}^{2}}-3m-4 \right)>0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+3m+4>0\Leftrightarrow -1<m<4 \xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 0; 1; 2; 3 \right\}\Rightarrow c\acute{o} 4$
giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ vuông góc với đường thẳng $x+5y+10=0\Rightarrow {y}'\left( {{x}_{0}} \right).\left( -\dfrac{1}{5} \right)=-1$
$\Leftrightarrow {{x}_{0}}^{2}-2m{{x}_{0}}+2{{m}^{2}}-3m+1=5\Leftrightarrow {{x}_{0}}^{2}-2m{{x}_{0}}+2{{m}^{2}}-3m-4=0 \left( * \right)$.
Để luôn tồn tại hai điểm $A,B$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ vuông góc với đường thẳng $x+5y+10=0$ thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\left( 2{{m}^{2}}-3m-4 \right)>0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+3m+4>0\Leftrightarrow -1<m<4 \xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 0; 1; 2; 3 \right\}\Rightarrow c\acute{o} 4$
giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án D.