Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-4)x+n+2, $ ( $m, n$ là các tham số ). Biết rằng hàm số đã cho
nghịch biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$ và có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ bằng $6$. Khi đó, tổng $m+n$ bằng
A. $2$.
B. $-2$.
C. $6$.
D. $4$
nghịch biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$ và có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ bằng $6$. Khi đó, tổng $m+n$ bằng
A. $2$.
B. $-2$.
C. $6$.
D. $4$
Xét hàm số: $y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-4)x+n+2$
$y'=3{{x}^{2}}+6mx+3({{m}^{2}}-4)$
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-m+2 \\
& x=-m-2 \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m-2\le 0 \\
& -m+2\ge 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -2 \\
& m\le -2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-2$
Xét hàm số: $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+n+2, y'=3{{x}^{2}}-12x$
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ -1;1 \right] \\
& x=4\notin \left[ -1;1 \right] \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max y}} =y\left( 0 \right)=6\Leftrightarrow n+2=6\Leftrightarrow n=4$
Vậy: $m+n=2$.
$y'=3{{x}^{2}}+6mx+3({{m}^{2}}-4)$
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-m+2 \\
& x=-m-2 \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m-2\le 0 \\
& -m+2\ge 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -2 \\
& m\le -2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-2$
Xét hàm số: $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+n+2, y'=3{{x}^{2}}-12x$
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ -1;1 \right] \\
& x=4\notin \left[ -1;1 \right] \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max y}} =y\left( 0 \right)=6\Leftrightarrow n+2=6\Leftrightarrow n=4$
Vậy: $m+n=2$.
Đáp án A.
