Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+2$. Giá trị của $m$...

Đạo hàm ${y}'=-3{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}},{{y}'}'=-6x+2m$.

Vì hàm số đã cho là hàm số bậc ba nên để hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}

& {y}'\left( -1 \right)=0 \\

& {{y}'}'\left( -1 \right)>0 \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& -3{{\left( -1 \right)}^{2}}+2m\left( -1 \right)+{{m}^{2}}=0 \\

& -6\cdot \left( -1 \right)+2m>0 \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& {{m}^{2}}-2m-3=0 \\

& 2m+6>0 \\

\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& m=-1;m=3 \\

& m>-3 \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& m=-1 \\

& m=3 \\

\end{aligned} \right.$.