Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=m{{x}^{4}}+\left( 3m-1 \right){{x}^{2}}+5$ ( $m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={{\left( f\left( 3x+1 \right) \right)}^{2}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Số phần tử của $S$ là
A. $0$.
B. $1$.
C. $2023$.
D. $5$.
A. $0$.
B. $1$.
C. $2023$.
D. $5$.
Đặt $g\left( x \right)={{\left( f\left( 3x+1 \right) \right)}^{2}}\Rightarrow g'\left( x \right)=2f\left( 3x+1 \right).3.f'\left( 3x+1 \right)=6f\left( 3x+1 \right).f'\left( 3x+1 \right)$.
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( 3x+1 \right).f'\left( 3x+1 \right)=0 \left( 1 \right)$. Đặt $t=3x+1$ thì $\left( 1 \right)$ trở thành
$\begin{aligned}
& \left[ m{{t}^{4}}+\left( 3m-1 \right){{t}^{2}}+5 \right].\left[ 4m{{t}^{3}}+2\left( 3m-1 \right)t \right]=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ m{{t}^{4}}+\left( 3m-1 \right){{t}^{2}}+5 \right].\left[ 2m{{t}^{2}}+\left( 3m-1 \right) \right].t=0 \\
\end{aligned}$
Để hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì điều kiện cần là phương trình $h\left( t \right)=\left[ m{{t}^{4}}+\left( 3m-1 \right){{t}^{2}}+5 \right].\left[ 2m{{t}^{2}}+\left( 3m-1 \right) \right]=0$ có nghiệm $t=0$ $\Rightarrow m=\dfrac{1}{3}$.
Thử lại với $m=\dfrac{1}{3}$ ta có, $h\left( t \right).t=\left( \dfrac{1}{3}{{t}^{4}}+5 \right)\left( \dfrac{2}{3}{{t}^{2}} \right).t$ đổi dấu khi qua $t=0$. Do đó hàm số $g\left( x \right)$ không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy không tồn tại tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( 3x+1 \right).f'\left( 3x+1 \right)=0 \left( 1 \right)$. Đặt $t=3x+1$ thì $\left( 1 \right)$ trở thành
$\begin{aligned}
& \left[ m{{t}^{4}}+\left( 3m-1 \right){{t}^{2}}+5 \right].\left[ 4m{{t}^{3}}+2\left( 3m-1 \right)t \right]=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ m{{t}^{4}}+\left( 3m-1 \right){{t}^{2}}+5 \right].\left[ 2m{{t}^{2}}+\left( 3m-1 \right) \right].t=0 \\
\end{aligned}$
Để hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì điều kiện cần là phương trình $h\left( t \right)=\left[ m{{t}^{4}}+\left( 3m-1 \right){{t}^{2}}+5 \right].\left[ 2m{{t}^{2}}+\left( 3m-1 \right) \right]=0$ có nghiệm $t=0$ $\Rightarrow m=\dfrac{1}{3}$.
Thử lại với $m=\dfrac{1}{3}$ ta có, $h\left( t \right).t=\left( \dfrac{1}{3}{{t}^{4}}+5 \right)\left( \dfrac{2}{3}{{t}^{2}} \right).t$ đổi dấu khi qua $t=0$. Do đó hàm số $g\left( x \right)$ không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy không tồn tại tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Đáp án A.