Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+3\left( m-1 \right)x+2$ có đồ thị là $\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=-x+2$. $S$ là tập các giá trị $m$ thỏa mãn $\left( d \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại 3 điểm phân biệt $A\left( 0;2 \right),B,C$ sao cho diện tích tam giác $MBC$ bằng $2\sqrt{2}$, với $M\left( 3;1 \right)$. Tính tổng bình phương các phần tử của $S$ ?
A. $4$.
B. $3$.
C. $9$.
D. $25$.
A. $4$.
B. $3$.
C. $9$.
D. $25$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và đồ thị $\left( C \right)$ :
${{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+3\left( m-1 \right)x+2=-x+2$ $\Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+3\left( m-1 \right)x+x=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+\left( 3m-2 \right)x=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}+2mx+3m-2=0 \\
\end{aligned} \right.$ (1)
Với $x=0$, ta có giao điểm là $A\left( 0;2 \right).$
$\left( d \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3m-2\ne 0 \\
& {\Delta }'={{m}^{2}}-3m+2>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne \dfrac{2}{3} \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.(*)$.
Ta gọi các giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$ lần lượt là $A\left( 0;2 \right),B\left( {{x}_{B}};-{{x}_{B}}+2 \right),C\left( {{x}_{C}};-{{x}_{C}}+2 \right)$ với ${{x}_{B}},{{x}_{C}}$ là nghiệm của phương trình (1).
Theo định lí Viet, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}+{{x}_{C}}=-2m \\
& {{x}_{B}}.{{x}_{C}}=3m-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có diện tích của tam giác $MBC$ là ${{S}_{\Delta MBC}}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot d\left( M,BC \right)=2\sqrt{2}$.
Phương trình $d$ được viết lại là: $d:y=-x+2\Leftrightarrow x+y-2=0$.
Mà $d\left( M,BC \right)=d\left( M,d \right)=\dfrac{\left| 3+1-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
Do đó: $BC=\dfrac{2{{S}_{\Delta MBC}}}{d\left( M,BC \right)}=\dfrac{2.2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=16$.
Ta lại có: $B{{C}^{2}}={{\left( {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{C}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left[ \left( -{{x}_{C}}+2 \right)-\left( -{{x}_{B}}+2 \right) \right]}^{2}}$.
$={{\left( {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{C}} \right)}^{2}}=2{{\left( {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}=16\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}=8$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{B}}+{{x}_{C}} \right)}^{2}}-4{{x}_{B}}.{{x}_{C}}=8\Leftrightarrow {{\left( -2m \right)}^{2}}-4\left( 3m-2 \right)=8$ $\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-12m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy $S=\left\{ 0;3 \right\}\Rightarrow {{0}^{2}}+{{3}^{2}}=9.$
${{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+3\left( m-1 \right)x+2=-x+2$ $\Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+3\left( m-1 \right)x+x=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+\left( 3m-2 \right)x=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}+2mx+3m-2=0 \\
\end{aligned} \right.$ (1)
Với $x=0$, ta có giao điểm là $A\left( 0;2 \right).$
$\left( d \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3m-2\ne 0 \\
& {\Delta }'={{m}^{2}}-3m+2>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne \dfrac{2}{3} \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.(*)$.
Ta gọi các giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$ lần lượt là $A\left( 0;2 \right),B\left( {{x}_{B}};-{{x}_{B}}+2 \right),C\left( {{x}_{C}};-{{x}_{C}}+2 \right)$ với ${{x}_{B}},{{x}_{C}}$ là nghiệm của phương trình (1).
Theo định lí Viet, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}+{{x}_{C}}=-2m \\
& {{x}_{B}}.{{x}_{C}}=3m-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có diện tích của tam giác $MBC$ là ${{S}_{\Delta MBC}}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot d\left( M,BC \right)=2\sqrt{2}$.
Phương trình $d$ được viết lại là: $d:y=-x+2\Leftrightarrow x+y-2=0$.
Mà $d\left( M,BC \right)=d\left( M,d \right)=\dfrac{\left| 3+1-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
Do đó: $BC=\dfrac{2{{S}_{\Delta MBC}}}{d\left( M,BC \right)}=\dfrac{2.2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=16$.
Ta lại có: $B{{C}^{2}}={{\left( {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{C}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left[ \left( -{{x}_{C}}+2 \right)-\left( -{{x}_{B}}+2 \right) \right]}^{2}}$.
$={{\left( {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{C}} \right)}^{2}}=2{{\left( {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}=16\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}=8$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{B}}+{{x}_{C}} \right)}^{2}}-4{{x}_{B}}.{{x}_{C}}=8\Leftrightarrow {{\left( -2m \right)}^{2}}-4\left( 3m-2 \right)=8$ $\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-12m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy $S=\left\{ 0;3 \right\}\Rightarrow {{0}^{2}}+{{3}^{2}}=9.$
Đáp án C.
