Cho hàm số $y=x^3+2m{x}^2+3(m-1)x+2$ có đồ...

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và đồ thị $\left(C\right)$ :
$x^3+2m{x}^2+3(m-1)x+2=-x+2$ $\iff x^3+2m{x}^2+3(m-1)x+x=0$
$\iff x^3+2m{x}^2+(3m-2)x=0$ $\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x^2+2mx+3m-2=0\end{array}$ (1)
Với $x=0$, ta có giao điểm là $A(0;2).$
$\left(d\right)$ cắt $\left(C\right)$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
$\iff \{\begin{array}{rl}& 3m-2\ne 0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-3m+2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m\ne {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ & [\begin{array}{rl}& m>2\\ & m<1\end{array}\end{array}(\ast )$.
Ta gọi các giao điểm của $d$ và $\left(C\right)$ lần lượt là $A(0;2),B(x_B;-x_B+2),C(x_C;-x_C+2)$ với $x_B,x_C$ là nghiệm của phương trình (1).
Theo định lí Viet, ta có: $\{\begin{array}{rl}& x_B+x_C=-2m\\ & x_B.x_C=3m-2\end{array}$.
Ta có diện tích của tam giác $MBC$ là $S_{\mathrm{\Delta }MBC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot BC\cdot d(M,BC)=2\sqrt{2}$.
Phương trình $d$ được viết lại là: $d:y=-x+2\iff x+y-2=0$.
Mà $d(M,BC)=d(M,d)={\displaystyle \frac{|3+1-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$.
Do đó: $BC={\displaystyle \frac{2S_{\mathrm{\Delta }MBC}}{d(M,BC)}}={\displaystyle \frac{2.2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}=4\iff B{C}^2=16$.
Ta lại có: $B{C}^2={(x_C-x_B)}^2+{(y_C-y_B)}^2={(x_C-x_B)}^2+{[(-x_C+2)-(-x_B+2)]}^2$.
$={(x_C-x_B)}^2+{(x_B-x_C)}^2=2{(x_C-x_B)}^2=16\iff {(x_C-x_B)}^2=8$
$\iff {(x_B+x_C)}^2-4x_B.x_C=8\iff {(-2m)}^2-4(3m-2)=8$ $\iff 4m^2-12m=0\iff [\begin{array}{rl}& m=0\\ & m=3\end{array}$ (thỏa mãn)
Vậy $S=\{0;3\}\Rightarrow 0^2+3^2=9.$