Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ và đồ thị hàm số ${{f}^{'}}(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ như hình vẽ bên dưới
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in (-10;10)$ để hàm số $y=f(2x-1)-2\ln (1+{{x}^{2}})-2mx$ đồng biến trên khoảng $(-1;2)$ ?
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 5.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in (-10;10)$ để hàm số $y=f(2x-1)-2\ln (1+{{x}^{2}})-2mx$ đồng biến trên khoảng $(-1;2)$ ?
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 5.
${{y}^{'}}=2{{f}^{'}}(2x-1)-\dfrac{4x}{1+{{x}^{2}}}-2m$
y đồng biến trên $(-1;2)$ $\Leftrightarrow $ ${{y}^{'}}\ge 0 \forall x \in (-1;2)$
$\Leftrightarrow {{f}^{'}}(2x-1)-\dfrac{2x}{1+{{x}^{2}}}\ge m \forall x \in (-1;2)$
Đặt $h(x)={{f}^{'}}(2x-1)-\dfrac{2x}{1+{{x}^{2}}}$
$h(x)\ge m \forall x \in (-1;2)\Rightarrow m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min h(x) }} $
Ta có $h(x)={{f}^{'}}(2x-1)-\dfrac{2x}{1+{{x}^{2}}}$
Do $x \in (-1;2)$ nên $(2x-1) \in (-3;3)$
Nhìn vào đồ thị ${{f}^{'}}(x)$ ta có $\min {{f}^{'}}(x)={{f}^{'}}(1)=-2$
Xét hàm số $g(x)=\dfrac{-2x}{1+{{x}^{2}}}$ với $x \in (-1;2)$
${{g}^{'}}(x)=\dfrac{-2.(1+{{x}^{2}})+2x.2x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}=\dfrac{2{{x}^{2}}-2}{1+{{x}^{2}}}$
${{g}^{'}}(x)=0\Leftrightarrow \left[ _{x=-1}^{x=1} \right.$
$g(1)=-1$
Vậy $\min g(x)=g(1)=-1$
Vậy $\min h(x)=h(1)=-2-1=-3$
Nên $m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min h(x) }} \le -3$
Mà $m\in (-10;10)$
Nên $m\in \left\{ -9;-8;-7;-6;-5;-4;-3 \right\}$ nên có 7 giá trị
y đồng biến trên $(-1;2)$ $\Leftrightarrow $ ${{y}^{'}}\ge 0 \forall x \in (-1;2)$
$\Leftrightarrow {{f}^{'}}(2x-1)-\dfrac{2x}{1+{{x}^{2}}}\ge m \forall x \in (-1;2)$
Đặt $h(x)={{f}^{'}}(2x-1)-\dfrac{2x}{1+{{x}^{2}}}$
$h(x)\ge m \forall x \in (-1;2)\Rightarrow m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min h(x) }} $
Ta có $h(x)={{f}^{'}}(2x-1)-\dfrac{2x}{1+{{x}^{2}}}$
Do $x \in (-1;2)$ nên $(2x-1) \in (-3;3)$
Nhìn vào đồ thị ${{f}^{'}}(x)$ ta có $\min {{f}^{'}}(x)={{f}^{'}}(1)=-2$
Xét hàm số $g(x)=\dfrac{-2x}{1+{{x}^{2}}}$ với $x \in (-1;2)$
${{g}^{'}}(x)=\dfrac{-2.(1+{{x}^{2}})+2x.2x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}=\dfrac{2{{x}^{2}}-2}{1+{{x}^{2}}}$
${{g}^{'}}(x)=0\Leftrightarrow \left[ _{x=-1}^{x=1} \right.$
$g(1)=-1$
Vậy $\min g(x)=g(1)=-1$
Vậy $\min h(x)=h(1)=-2-1=-3$
Nên $m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min h(x) }} \le -3$
Mà $m\in (-10;10)$
Nên $m\in \left\{ -9;-8;-7;-6;-5;-4;-3 \right\}$ nên có 7 giá trị
Đáp án B.
