Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện $f(1)=-\dfrac{1}{2}$ và $f(x)+x.f'(x)=\left( 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right).{{f}^{2}}(x), \forall x\in \left[ 1;2 \right]$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục $Ox, x=1, x=2$. Chọn mệnh đề đúng?
A. $\dfrac{1}{2}<S<1$
B. $2<S<3$
C. $1<S<\dfrac{3}{2}$
D. $0<S<\dfrac{1}{2}$
A. $\dfrac{1}{2}<S<1$
B. $2<S<3$
C. $1<S<\dfrac{3}{2}$
D. $0<S<\dfrac{1}{2}$
$f(x)+x.f'(x)=\left( 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right).{{f}^{2}}(x)\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x}^{2}}}f(x)+\dfrac{1}{x}f'(x)=\left( 2x+1 \right).{{f}^{2}}\left( x \right)$
$\dfrac{-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}.f(x)-\dfrac{1}{x}.f'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=-2x-1\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{\dfrac{1}{x}}{f(x)} \right)}^{'}}=-2x-1\Rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{x}}{f(x)}=-{{x}^{2}}-x+C$.
Thay $x=1$ vào cả hai vế suy ra $C=0$.
$f(x)=\dfrac{-1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}}$.
$S=\int\limits_{1}^{2}{\left| \dfrac{-1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}} \right|}dx\approx 0,2123$
$\dfrac{-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}.f(x)-\dfrac{1}{x}.f'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=-2x-1\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{\dfrac{1}{x}}{f(x)} \right)}^{'}}=-2x-1\Rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{x}}{f(x)}=-{{x}^{2}}-x+C$.
Thay $x=1$ vào cả hai vế suy ra $C=0$.
$f(x)=\dfrac{-1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}}$.
$S=\int\limits_{1}^{2}{\left| \dfrac{-1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}} \right|}dx\approx 0,2123$
Đáp án D.