Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty )$ và $f(x)\ne 0,\forall x>0$. Biết rằng ${{f}^{'}}(x)=(2x+1){{f}^{2}}(x)$ và $f(1)=-\dfrac{1}{2}.$ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),x=1,x={{e}^{2}}$ bằng
A. $2+\ln \dfrac{2}{{{e}^{2}}+1}$.
B. $-2+\ln \dfrac{2}{{{e}^{2}}+1}$.
C. $1-\ln \dfrac{1}{{{e}^{2}}+1}$.
D. $1-\ln \dfrac{e+1}{2}$.
A. $2+\ln \dfrac{2}{{{e}^{2}}+1}$.
B. $-2+\ln \dfrac{2}{{{e}^{2}}+1}$.
C. $1-\ln \dfrac{1}{{{e}^{2}}+1}$.
D. $1-\ln \dfrac{e+1}{2}$.
Từ giả thiết: ${{f}^{'}}(x)=(2x+1){{f}^{2}}(x)\Leftrightarrow -\dfrac{{{f}^{'}}(x)}{{{f}^{2}}(x)}=-2x-1\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{f(x)} \right)}^{'}}=-2x-1$
Do đó: $\dfrac{1}{f(x)}=\int{(-2x-1)dx=-{{x}^{2}}-x+C}$
Mà $f(1)=-\dfrac{1}{2}$ nên $C=0$. Vậy $f(x)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x}.$
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),x=1,x={{e}^{2}}$ là
$S=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\left| \dfrac{1}{{{x}^{2}}+x} \right|}dx=2+\ln \dfrac{2}{1+{{e}^{2}}}$.
Do đó: $\dfrac{1}{f(x)}=\int{(-2x-1)dx=-{{x}^{2}}-x+C}$
Mà $f(1)=-\dfrac{1}{2}$ nên $C=0$. Vậy $f(x)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x}.$
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),x=1,x={{e}^{2}}$ là
$S=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\left| \dfrac{1}{{{x}^{2}}+x} \right|}dx=2+\ln \dfrac{2}{1+{{e}^{2}}}$.
Đáp án A.
