Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x),f(x)>{{e}^{x}},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ thỏa mãn $(x+1)f(x)-xf'(x)={{e}^{x}},f(1)=3e$.Giá trị $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}$ bằng
A. $3{{e}^{2}}-3e$.
B. $3{{e}^{2}}-e$.
C. $3{{e}^{2}}$.
D. $3{{e}^{2}}+e$
A. $3{{e}^{2}}-3e$.
B. $3{{e}^{2}}-e$.
C. $3{{e}^{2}}$.
D. $3{{e}^{2}}+e$
+)Ta có $(x+1)f(x)-xf'(x)={{e}^{x}}\Leftrightarrow \dfrac{(x+1).{{e}^{-x}}}{{{x}^{2}}}f(x)-\dfrac{{{e}^{-x}}}{x}f'(x)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{{{e}^{-x}}f(x)}{x} \right]}^{'}}=\dfrac{-1}{{{x}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{e}^{-x}}}{x}f(x)=\dfrac{1}{x}+C$
Mà $f(1)=3e\Rightarrow {{e}^{-1}}f(1)=1+C\Rightarrow C=2\Rightarrow \dfrac{{{e}^{-x}}}{x}f(x)=\dfrac{1}{x}+2$
$\Rightarrow f(x)=\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}$
Vậy $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}dx}=3{{e}^{2}}-e$.
$\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{{{e}^{-x}}f(x)}{x} \right]}^{'}}=\dfrac{-1}{{{x}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{e}^{-x}}}{x}f(x)=\dfrac{1}{x}+C$
Mà $f(1)=3e\Rightarrow {{e}^{-1}}f(1)=1+C\Rightarrow C=2\Rightarrow \dfrac{{{e}^{-x}}}{x}f(x)=\dfrac{1}{x}+2$
$\Rightarrow f(x)=\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}$
Vậy $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}dx}=3{{e}^{2}}-e$.
Đáp án B.