Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( 0;+\infty \right)$. Biết $3{{x}^{2}}$ là một nguyên hàm của ${{x}^{2}}{f}'\left( x \right)$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ và $f\left( 1 \right)=2$. Tính giá trị $f\left( \text{e} \right)$.
A. $f\left( \text{e} \right)=8$.
B. $f\left( \text{e} \right)=6\text{e}-2$.
C. $f\left( \text{e} \right)=4$.
D. $f\left( \text{e} \right)=3\text{e}+2$.
A. $f\left( \text{e} \right)=8$.
B. $f\left( \text{e} \right)=6\text{e}-2$.
C. $f\left( \text{e} \right)=4$.
D. $f\left( \text{e} \right)=3\text{e}+2$.
Theo đề ta có $3{{x}^{2}}$ là một nguyên hàm của ${{x}^{2}}{f}'\left( x \right)$ trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó $\forall x\in \left( 0 ;+\infty \right)$ thì ${{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}={{\left( \int{{{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)} dx \right)}^{\prime }}$ $\Leftrightarrow 6x={{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)$ $\Leftrightarrow \int{\dfrac{6}{x}} dx=\int{{f}'\left( x \right)} dx$
$\Rightarrow 6.\ln x+C=f\left( x \right)$ ( Vì $x\in \left( 0; +\infty \right)$ nên $\ln \left| x \right|=\ln x$ )
Ta lại có: $f\left( 1 \right)=2\Leftrightarrow 6.\ln 1+C=2\Leftrightarrow C=2$ $\Rightarrow f\left( x \right)=6.\ln x+2$ $\Rightarrow $ $f\left( e \right)=6.\ln e+2=8$.
Do đó $\forall x\in \left( 0 ;+\infty \right)$ thì ${{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}={{\left( \int{{{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)} dx \right)}^{\prime }}$ $\Leftrightarrow 6x={{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)$ $\Leftrightarrow \int{\dfrac{6}{x}} dx=\int{{f}'\left( x \right)} dx$
$\Rightarrow 6.\ln x+C=f\left( x \right)$ ( Vì $x\in \left( 0; +\infty \right)$ nên $\ln \left| x \right|=\ln x$ )
Ta lại có: $f\left( 1 \right)=2\Leftrightarrow 6.\ln 1+C=2\Leftrightarrow C=2$ $\Rightarrow f\left( x \right)=6.\ln x+2$ $\Rightarrow $ $f\left( e \right)=6.\ln e+2=8$.
Đáp án A.