Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương trên khoảng $(0 ;+\infty)$, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn $f(x)\ln f(x)=x\left( f(x)-{f}'(x) \right),\forall x\in (0;+\infty )$. Biết $f(1)=f(4)$, giá trị $f(2)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 1;3 \right)$.
B. $\left( 8;10 \right)$.
C. $\left( 6;8 \right)$.
D. $\left( 13;15 \right)$.
A. $\left( 1;3 \right)$.
B. $\left( 8;10 \right)$.
C. $\left( 6;8 \right)$.
D. $\left( 13;15 \right)$.
Ta có $f(x)\ln f(x)=x\left( f(x)-{f}'(x) \right)\Leftrightarrow \ln f(x)=x\left( 1-\dfrac{{f}'(x)}{f(x)} \right)\Leftrightarrow \ln f(x)=x\left( 1-(\ln f(x){)}' \right)$
$\Leftrightarrow (x{)}'\ln f(x)+x{{\left[ \ln f(x) \right]}^{\prime }}=x\Leftrightarrow {{\left[ x\ln f(x) \right]}^{\prime }}=x$ $\Rightarrow $ $x \ln f(x)=\int x d x=\dfrac{1}{2} x^2+C$.
Cho $x=1$ ta được $\ln f(1)=\dfrac{1}{2}+C$.
Cho $x=4$ ta được $4\ln f(4)=8+C$.
Theo đề $f\left( 1 \right)=f\left( 4 \right)$ nên suy ra $2+4C=8+C\Rightarrow C=2$ nên $f\left( x \right)={{e}^{\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}}}$.
Vậy $f\left( 2 \right)={{e}^{2}}\approx 7,39$.
$\Leftrightarrow (x{)}'\ln f(x)+x{{\left[ \ln f(x) \right]}^{\prime }}=x\Leftrightarrow {{\left[ x\ln f(x) \right]}^{\prime }}=x$ $\Rightarrow $ $x \ln f(x)=\int x d x=\dfrac{1}{2} x^2+C$.
Cho $x=1$ ta được $\ln f(1)=\dfrac{1}{2}+C$.
Cho $x=4$ ta được $4\ln f(4)=8+C$.
Theo đề $f\left( 1 \right)=f\left( 4 \right)$ nên suy ra $2+4C=8+C\Rightarrow C=2$ nên $f\left( x \right)={{e}^{\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}}}$.
Vậy $f\left( 2 \right)={{e}^{2}}\approx 7,39$.
Đáp án C.
