Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ nhận giá trị dương trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn $f\left( x \right)\ln f\left( x \right)=x\left( f\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right), \forall x\in $ $\left( 0;+\infty \right)$. Biết $f\left( 1 \right)=f\left( 3 \right)$, giá trị $f\left( 2 \right)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 12;14 \right).$
B. $\left( 4;6 \right).$
C. $\left( 1;3 \right).$
D. $\left( 6;8 \right).$
A. $\left( 12;14 \right).$
B. $\left( 4;6 \right).$
C. $\left( 1;3 \right).$
D. $\left( 6;8 \right).$
Ta có
$f\left( x \right)\ln f\left( x \right)=x\left( f\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right)\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=x\left( 1-\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)} \right)\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=x\left( 1-{{\left( \ln f\left( x \right) \right)}^{\prime }} \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( x \right)}^{\prime }}\ln f\left( x \right)+x{{\left( \ln f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=x\Leftrightarrow {{\left( x\ln f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=x$.
Từ đó $x\ln f\left( x \right)=\int{xdx}=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+C$.
Cho $x=1$ ta được $\ln f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}+C$
Cho $x=3$ ta được $3\ln f\left( 3 \right)=\dfrac{9}{2}+C$
Theo bài ra thì $f\left( 1 \right)=f\left( 3 \right)$, từ đó suy ra $C=\dfrac{3}{2}$ nên $f\left( x \right)={{e}^{\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2x}}}$.
Cho $x=2$ ta được $f\left( 2 \right)={{e}^{\dfrac{7}{4}}}\simeq 5,75$
$f\left( x \right)\ln f\left( x \right)=x\left( f\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right)\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=x\left( 1-\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)} \right)\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=x\left( 1-{{\left( \ln f\left( x \right) \right)}^{\prime }} \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( x \right)}^{\prime }}\ln f\left( x \right)+x{{\left( \ln f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=x\Leftrightarrow {{\left( x\ln f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=x$.
Từ đó $x\ln f\left( x \right)=\int{xdx}=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+C$.
Cho $x=1$ ta được $\ln f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}+C$
Cho $x=3$ ta được $3\ln f\left( 3 \right)=\dfrac{9}{2}+C$
Theo bài ra thì $f\left( 1 \right)=f\left( 3 \right)$, từ đó suy ra $C=\dfrac{3}{2}$ nên $f\left( x \right)={{e}^{\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2x}}}$.
Cho $x=2$ ta được $f\left( 2 \right)={{e}^{\dfrac{7}{4}}}\simeq 5,75$
Đáp án B.
