Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ liên tục $(0; +\infty )$. Biết $\ln (2x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x){{e}^{x}}$. Họ tất cả nguyên hàm của hàm số $f'(x){{e}^{x}}$ là
A. $\dfrac{1}{x}-\ln 2x+C$.
B. $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\ln 2x+C$.
C. $\dfrac{2}{x}+\ln 2x+C$.
D. $\dfrac{1}{2x}-\ln 2x+C$.
A. $\dfrac{1}{x}-\ln 2x+C$.
B. $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\ln 2x+C$.
C. $\dfrac{2}{x}+\ln 2x+C$.
D. $\dfrac{1}{2x}-\ln 2x+C$.
Ta có $\int{f(x) {{e}^{x}}\text{dx}}=\ln 2x\Rightarrow f(x) {{e}^{x}}=\dfrac{2}{2x}=\dfrac{1}{x}$.
Goi $I=\int{f'(x) {{e}^{x}}\text{dx}}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{e}^{x}} \\
& dv=f'(x) dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du={{e}^{x}}dx \\
& v=f(x) \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $I={{e}^{x}}f(x)-\int{f(x) {{e}^{x}}\text{dx}}=\dfrac{1}{x}-\ln 2x+C$.
Goi $I=\int{f'(x) {{e}^{x}}\text{dx}}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{e}^{x}} \\
& dv=f'(x) dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du={{e}^{x}}dx \\
& v=f(x) \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $I={{e}^{x}}f(x)-\int{f(x) {{e}^{x}}\text{dx}}=\dfrac{1}{x}-\ln 2x+C$.
Đáp án A.
