Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị hàm số $f^{\prime}(x)$ như hình vẽ. $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$. Biết $x=1$ là nghiệm của $f(x)=0$ và $F(x)=0$. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $F(x)=0$ bằng
A. 0 .
B. 10 .
C. 12 .
D. 17 .
B. 10 .
C. 12 .
D. 17 .
Phân tích: Đây là dạng toán sư dụng nguyên hàm để tìm hàm số $f(x)$ khi biết hàm số đạo hàm của nó.
Vì $f(x)$ là hàm bậc ba nên $f^{\prime}(x)$ là hàm bậc hai.
Đồ thị $f^{\prime}(x)$ cắt trục hoành tại 2 giao điểm có hoành độ là $-1 ; 1$ nên phương trình $f^{\prime}(x)=0$ có đúng 2 nghiệm là $-1 ; 1$.
Do đó $f^{\prime}(x)=a\left(x^2-1\right), a>0$. Suy ra $f(x)=\int_{\cdots}^{\ldots} a\left(x^2-1\right) d x=\dfrac{a x^3}{3}-a x+b$.
$f(x)=0$ có nghiệm $x=1$ nên $\dfrac{a \cdot 1^3}{3}-a \cdot 1+b=0 \Rightarrow b=\dfrac{2 a}{3}$.
$\Rightarrow f(x)=\dfrac{a x^3}{3}-a x+\dfrac{2 a}{3}$
Từ đó, $F(x)=\int^{\ldots}\left(\dfrac{a x^3}{3}-a x+\dfrac{2 a}{3}\right) d x=\dfrac{a x^4}{12}-\dfrac{a x^2}{2}+\dfrac{2 a}{3} x+c$.
$F(x)=0$ có nghiệm $x=1$ nên $\dfrac{a \cdot 1^4}{12}-\dfrac{a \cdot 1^2}{2}+\dfrac{2 a}{3} \cdot 1+c=0 \Rightarrow c=-\dfrac{a}{4}$.
$\Rightarrow F(x)=\dfrac{a x^4}{12}-\dfrac{a x^2}{2}+\dfrac{2 a}{3} x-\dfrac{a}{4}=\dfrac{a}{12}\left(x^4-6 x^2+8 x-3\right)=\dfrac{a}{12}(x-1)^3(x+3)$.
$F(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=-3\end{array}\right.$. Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình $F(x)=0$ bằng 10 .
Vì $f(x)$ là hàm bậc ba nên $f^{\prime}(x)$ là hàm bậc hai.
Đồ thị $f^{\prime}(x)$ cắt trục hoành tại 2 giao điểm có hoành độ là $-1 ; 1$ nên phương trình $f^{\prime}(x)=0$ có đúng 2 nghiệm là $-1 ; 1$.
Do đó $f^{\prime}(x)=a\left(x^2-1\right), a>0$. Suy ra $f(x)=\int_{\cdots}^{\ldots} a\left(x^2-1\right) d x=\dfrac{a x^3}{3}-a x+b$.
$f(x)=0$ có nghiệm $x=1$ nên $\dfrac{a \cdot 1^3}{3}-a \cdot 1+b=0 \Rightarrow b=\dfrac{2 a}{3}$.
$\Rightarrow f(x)=\dfrac{a x^3}{3}-a x+\dfrac{2 a}{3}$
Từ đó, $F(x)=\int^{\ldots}\left(\dfrac{a x^3}{3}-a x+\dfrac{2 a}{3}\right) d x=\dfrac{a x^4}{12}-\dfrac{a x^2}{2}+\dfrac{2 a}{3} x+c$.
$F(x)=0$ có nghiệm $x=1$ nên $\dfrac{a \cdot 1^4}{12}-\dfrac{a \cdot 1^2}{2}+\dfrac{2 a}{3} \cdot 1+c=0 \Rightarrow c=-\dfrac{a}{4}$.
$\Rightarrow F(x)=\dfrac{a x^4}{12}-\dfrac{a x^2}{2}+\dfrac{2 a}{3} x-\dfrac{a}{4}=\dfrac{a}{12}\left(x^4-6 x^2+8 x-3\right)=\dfrac{a}{12}(x-1)^3(x+3)$.
$F(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=-3\end{array}\right.$. Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình $F(x)=0$ bằng 10 .
Đáp án B.
