Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ như...

Phân tích: Đây là dạng toán sư dụng nguyên hàm để tìm hàm số $f(x)$ khi biết hàm số đạo hàm của nó.
Vì $f(x)$ là hàm bậc ba nên $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc hai.
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại 2 giao điểm có hoành độ là $-1;1$ nên phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có đúng 2 nghiệm là $-1;1$.
Do đó $f^{\prime }(x)=a(x^2-1),a>0$. Suy ra $f(x)={\int }_{\cdots }^{\dots }a(x^2-1)dx={\displaystyle \frac{a{x}^3}{3}}-ax+b$.
$f(x)=0$ có nghiệm $x=1$ nên ${\displaystyle \frac{a\cdot 1^3}{3}}-a\cdot 1+b=0\Rightarrow b={\displaystyle \frac{2a}{3}}$.
$\Rightarrow f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^3}{3}}-ax+{\displaystyle \frac{2a}{3}}$
Từ đó, $F(x)={\int }^{\dots }({\displaystyle \frac{a{x}^3}{3}}-ax+{\displaystyle \frac{2a}{3}})dx={\displaystyle \frac{a{x}^4}{12}}-{\displaystyle \frac{a{x}^2}{2}}+{\displaystyle \frac{2a}{3}}x+c$.
$F(x)=0$ có nghiệm $x=1$ nên ${\displaystyle \frac{a\cdot 1^4}{12}}-{\displaystyle \frac{a\cdot 1^2}{2}}+{\displaystyle \frac{2a}{3}}\cdot 1+c=0\Rightarrow c=-{\displaystyle \frac{a}{4}}$.
$\Rightarrow F(x)={\displaystyle \frac{a{x}^4}{12}}-{\displaystyle \frac{a{x}^2}{2}}+{\displaystyle \frac{2a}{3}}x-{\displaystyle \frac{a}{4}}={\displaystyle \frac{a}{12}}(x^4-6x^2+8x-3)={\displaystyle \frac{a}{12}}(x-1{)}^3(x+3)$.
$F(x)=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}$. Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình $F(x)=0$ bằng 10 .