Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới.
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)-3f\left( {{x}_{2}} \right)=0$ và đồ thị luôn đi qua $M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$ trong đó ${{x}_{0}}={{x}_{1}}-1;$ $g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai có đồ thị qua $2$ điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và điểm $M.$ Tính tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ ( ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích hai hình phẳng được tạo bởi đồ thị hai hàm $f\left( x \right),g\left( x \right)$ như hình vẽ).
A. $\dfrac{4}{29}$.
B. $\dfrac{5}{32}$.
C. $\dfrac{7}{33}$.
D. $\dfrac{6}{35}$.
A. $\dfrac{4}{29}$.
B. $\dfrac{5}{32}$.
C. $\dfrac{7}{33}$.
D. $\dfrac{6}{35}$.
Khi ta tịnh tiến đồ thị sao cho ${{x}_{0}}=0$ khi đó diện tích hình phẳng không thay đổi.
$\Rightarrow {{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=3$, đặt $f\left( x \right)\text{=a}{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d;g\left( x \right)=m{{x}^{2}}+nx+q$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
Vì hàm số $y=f\left( x \right)$ đạt cực trị tại $\Rightarrow {{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=3$ và $f\left( 1 \right)-3f\left( 3 \right)=0$ nên ta có hệ phương trình.
$\left\{ \begin{aligned}
& 3a+2b+c=0 \\
& 27a+6b+c=0 \\
& 80a+26b+8c+2d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-6a \\
& c=9a \\
& d=2a \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( x \right)=a\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+2 \right)$
Mà hai đồ thị giao nhau tại 3 điểm nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right) \\
& g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right) \\
& g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& q=d=2a \\
& m=-2a \\
& n=6a \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=a\left( -2{{x}^{2}}+6x+2 \right)$
${{S}_{1}}=\left| a \right|.\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3x \right|}.dx=\dfrac{5\left| a \right|}{12}; {{S}_{2}}=\left| a \right|.\int\limits_{1}^{3}{\left| {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3x \right|}.dx=\dfrac{8\left| a \right|}{3} \Rightarrow \dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{5}{32}$
$\Rightarrow {{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=3$, đặt $f\left( x \right)\text{=a}{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d;g\left( x \right)=m{{x}^{2}}+nx+q$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
Vì hàm số $y=f\left( x \right)$ đạt cực trị tại $\Rightarrow {{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=3$ và $f\left( 1 \right)-3f\left( 3 \right)=0$ nên ta có hệ phương trình.
$\left\{ \begin{aligned}
& 3a+2b+c=0 \\
& 27a+6b+c=0 \\
& 80a+26b+8c+2d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-6a \\
& c=9a \\
& d=2a \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( x \right)=a\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+2 \right)$
Mà hai đồ thị giao nhau tại 3 điểm nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right) \\
& g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right) \\
& g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& q=d=2a \\
& m=-2a \\
& n=6a \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=a\left( -2{{x}^{2}}+6x+2 \right)$
${{S}_{1}}=\left| a \right|.\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3x \right|}.dx=\dfrac{5\left| a \right|}{12}; {{S}_{2}}=\left| a \right|.\int\limits_{1}^{3}{\left| {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3x \right|}.dx=\dfrac{8\left| a \right|}{3} \Rightarrow \dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{5}{32}$
Đáp án B.