Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như đường cong bên dưới. Gọi ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)-4f\left( {{x}_{2}} \right)=0$. Đường thẳng song song với trục $Ox$ và qua điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ ${{x}_{0}}$ và ${{x}_{1}}={{x}_{0}}+1.$ Tính tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}} $ ( ${{S}_{1}} , {{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới).
A. $\dfrac{8}{32}$.
B. $\dfrac{27}{16}$.
C. $\dfrac{81}{8}$.
D. $\dfrac{81}{16}$.
Không làm thay đổi tỉ lệ diện tích $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}} $, tịnh tiến đồ thị sang trái sao cho điểm cực đại ${{x}_{1}}$ nằm trên trục $Oy$.
Khi đó, ta chọn ${{x}_{1}}=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=-1 \\
& {{x}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có dạng đại số là $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( {{x}_{1}} \right)=0 \\
& {f}'\left( {{x}_{2}} \right)=0 \\
& f\left( {{x}_{1}} \right)-4f\left( {{x}_{2}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& 12a+4b=0 \\
& d-4\left( 8a+4b+2c+d \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& b=-3a \\
& -3d-32a-16b=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& b=-3a \\
& -3d+16a=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& b=-3a \\
& d=\dfrac{16}{3}a \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-3a{{x}^{2}}+\dfrac{16}{3}a$.
Khi đó,
Diện tích $S={{S}_{1}}+S{_{2}}=\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ a{{x}^{3}}-3a{{x}^{2}}+\dfrac{16}{3}a \right]dx=}\left. a\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-a{{x}^{3}}+\dfrac{16}{3}ax \right|_{-1}^{2}=\dfrac{43}{4}a$
Diện tích ${{S}_{2}}=3.f\left( {{x}_{2}} \right)=3.\dfrac{4}{3}a=4a$.
Vậy $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{S-{{S}_{2}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{43}{4}-4}{4}=\dfrac{27}{16}$.
B. $\dfrac{27}{16}$.
C. $\dfrac{81}{8}$.
D. $\dfrac{81}{16}$.
Khi đó, ta chọn ${{x}_{1}}=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=-1 \\
& {{x}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có dạng đại số là $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( {{x}_{1}} \right)=0 \\
& {f}'\left( {{x}_{2}} \right)=0 \\
& f\left( {{x}_{1}} \right)-4f\left( {{x}_{2}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& 12a+4b=0 \\
& d-4\left( 8a+4b+2c+d \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& b=-3a \\
& -3d-32a-16b=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& b=-3a \\
& -3d+16a=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& b=-3a \\
& d=\dfrac{16}{3}a \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-3a{{x}^{2}}+\dfrac{16}{3}a$.
Khi đó,
Diện tích $S={{S}_{1}}+S{_{2}}=\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ a{{x}^{3}}-3a{{x}^{2}}+\dfrac{16}{3}a \right]dx=}\left. a\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-a{{x}^{3}}+\dfrac{16}{3}ax \right|_{-1}^{2}=\dfrac{43}{4}a$
Diện tích ${{S}_{2}}=3.f\left( {{x}_{2}} \right)=3.\dfrac{4}{3}a=4a$.
Vậy $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{S-{{S}_{2}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{43}{4}-4}{4}=\dfrac{27}{16}$.
Đáp án B.