Cho hàm đa thức bậc năm $y=f\left( x \right)$ và hàm số...

Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+m-2{{m}^{2}} \right)\dfrac{\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)\left( {{x}^{3}}+3x \right)}{\left| {{x}^{3}}+3x \right|}$
Ta có ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left| {{x}^{3}}+3x \right|+m-2{{m}^{2}}=-3 \\
\left| {{x}^{3}}+3x \right|+m-2{{m}^{2}}=-1 \\
\left| {{x}^{3}}+3x \right|+m-2{{m}^{2}}=2 \\
\left| {{x}^{3}}+3x \right|+m-2{{m}^{2}}=5 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left| {{x}^{3}}+3x \right|=2{{m}^{2}}-m-3 \\
\left| {{x}^{3}}+3x \right|=2{{m}^{2}}-m-1 \\
\left| {{x}^{3}}+3x \right|=2{{m}^{2}}-m+2 \\
\left| {{x}^{3}}+3x \right|=2{{m}^{2}}-m+5 \\
\end{matrix} \right.\left( * \right) $ và $ {g}'\left( x \right) $ không xác định tại $ x=0$.
Do $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty $ nên để hàm số $g\left( x \right)$ có ba điểm cực đại khi và chỉ khi hàm số $g\left( x \right)$ có bảy điểm cực trị.
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{3}}+3x$, ta có ${h}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+3>0,\forall x$ nên $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Khi đó, ta có được bảng biến của hàm số $y=\left| h\left( x \right) \right|=\left| {{x}^{3}}+3x \right|$ như sau:
Để hàm số $g\left( x \right)$ có bảy điểm cực trị thì $\left( * \right)$ phải có $6$ nghiệm phân biệt:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2{{m}^{2}}-m-1>0 \\
2{{m}^{2}}-m-3\le 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
m>1 \\
m<\dfrac{-1}{2} \\
\end{matrix} \right. \\
-1\le m\le 3 \\
\end{matrix} \right. $, mà $ m $ là số nguyên nên $ m\in \left\{ -1;2;3 \right\}$.