Cho hàm số đa thức bậc ba $y=f\left( x \right)$ có hai điểm cực...

Hàm số $y=f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị là $x=0$ và $x=3$ và ${f}'\left( x \right)$ đổi dấu khi đi qua hai điểm này$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 0 \right)=0 \\
& {f}'\left( 3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $y=f\left( g\left( x \right)+m \right)$ có đạo hàm ${y}'={g}'\left( x \right).{f}'\left( g\left( x \right)+m \right)$.
Giải phương trình ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=0 \\
& {f}'\left( g\left( x \right)+m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x=0 \\
& x={{x}_{2}} \\
& g\left( x \right)+m=0 \\
& g\left( x \right)+m=3 \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right) $ với $ {{x}_{1}} ; 0 ; {{x}_{2}} $ là các điểm cực trị của hàm số $ y=g\left( x \right)$.
Để hàm số $y=f\left( g\left( x \right)+m \right)$ có đúng $7$ điểm cực trị thì phương trình $\left( * \right)$ phải có đúng $7$ nghiệm phân biệt.
Để phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng $7$ nghiệm phân biệt thì $\left[ \begin{aligned}
& g\left( x \right)+m=0 \\
& g\left( x \right)+m=3 \\
\end{aligned} \right. \left( 2 \right) $ có đúng $ 4 $ nghiệm phân biệt và $ 4 $ nghiệm này phải khác $ {{x}_{1}} ; 0 ; {{x}_{2}} $. Từ $ \left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& g\left( x \right)=-m \\
& g\left( x \right)=-m+3 \\
\end{aligned} \right. $.
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -m\ge -1 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& -5<-m+3<-1 \\
& -m\le -5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 4<m<8 \\
& m\ge 5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& 5\le m<8 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có $4$ giá trị nguyên dương $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.